Foi II (m iIuiim TcMpaee
47. Problème I. - Dans une sphère de rayon r deux points sont pris arbitrairement; trouver la probabilité pour que leur èloignement réciproque soit plus petit qu'une longueur donnée c.
Solution. — La quantité de toutes les couples de points
dans la sphère est (ô ^''^)*« Si l'on désigne par g la quantité des cas favorables, on a
Pour trouver </, nous cherchons le changement dg que ce nombre éprouve lorsque le rayon de la sphère augmente de dr pendant que c demeure invariable. Aux cas favorables antérieurs se joignent ceux chez lesquels un des deux points tombe dans l'enveloppe sphérique infiniment mince dont les rayons sont r et r -{- dr-, les cas oii les deux points se trouvent dans cette enveloppe sphérique peuvent être négligés puisque leur mesure est d'ordre infiniment petit plus élevé. Si l'un des points est par exemple P (fig. 26), un cas favorable a lieu lorsque l'autre point Q tombe Fig. 26.
dans l'espace lenticulaire qui est commun à la sphère donnée et à une sphère décrite de P comme centre avec la longueur c comme rayon. Si Ton désigne le volume de cet espace par F, comme P et Ç peuvent être permutés, on obtient
dg = 2ATtr^dr.V.
L'espace lenticulaire se divise en deux segments dont la sur-
face de base commune a le rayon ^y^^* — ^*î 1'"" segment
appartenant à la sphère de rayon r a la hauteur ^ > l'autre
appartenant à la sphère de- rayon c la hauteur -^^ -;
avec ces dimensions, on trouve facilement
et ensuite
Par intégration, se donne maintenant le g cherché
2) g = S7t^ (-|- c' r' - -^ c' r* + cY
dans lequel, C est la constante d'intégration encore à déterminer. Par substitution de cette valeur de g dans la formule 1), on trouve
La remarque suivante sert à la découverte de C : pour c == 2r, toute couple de points pris arbitrairement a un éloignement plus petit que c; dans ce cas, 79 devient égal à 1; donc
oii résulte
De manière
que,
, finalement,
Remarque. — La remarque faite par S. Koberts est intéressante, savoir
2 segments JD 2? -\- segment  PB ^ "" volume de la sphère C '
une semblable relation s'obtient dans la question analogue dans le plan.
48. Problème II. — Dans chacune de deux sphères égales se touchant un point est pris à volonté; quelle est la probabilité pour (jue Véloignement mutuel des deux points soit plus petit que le rayon des sphères?
Fig. 27.
Solution. -- A, B (fig. 27) sont les contres des sphères «loiHicesi, ;• leur rayon. L'un des deux points, P, tombe dans un l'iément de la sphère A, élément qui est découpé dans celle-ci par doux surfaces sphériques, décrites de B avec les rayons x et ce -{- dx; si Von désigne la surface du segment sphérique CPD par i/, la probabilité d'une position ainsi réalisée du point P est
u dx
Pour découvrir les positions favorables du second point Ç, on décrit de P avec le rayon 2r une surface sphérique, qui découpe de la sphère B l'espace lenticulaire FEGHF; aussi souvent que le point Q tombe dans cet espace, dont le volume peut s'appeler v, il est correspondu aux conditions de la question. La probabilité de cet événement simple est
TT r^
par conséquent, la probabilité totale, composée pour que soit PÇ<2rest
uv dx.
Maintenant, on trouve facilement
V = — - (4r a:* — 3r* x — ar*), 2r ^
(■(luemment, on obtient
Jç-irsf' — af)dx=-^'
49. Problème III. — Dans une sphère sont pris arbitraire' ment trois points. Trouver la probabilité pour que les poitifs soient les sommets d'un triangle acutangle.
Solution. — Comme la probabilité demandée est indépendante du rayon de la sphère, tt est permis de prendre le point le plus éloigné du centre de la sphère dans la surface enveloppe de la sphère. Soit P ce point et soient Ç, R les deux autres points. Alors il sera à découvrir pour chacun des trois points la probabilité pour que l'angle dont il est le sommet soit un angle obtu, et comme ces trois événements s'excluent mutuellement, la somme de leurs probabilités donne la probabilité totale pour que le triangle PQR soit un triangle obtusangle-
En outre^ il est à reconnaître aussitôt que les points Q, R jouent le même rôle, donc que les probabilités y relatives sont égales.
1. Recherche de la probabilité pour que l'angle en P soit un angle obtu.
Nous fixons le second point Q (fig. 28), menons la droite P^4 normalement à PC et reconnaissons que l'angle QPR sera obtu lorsque le troisième point/?
tombera dans le segment PAB; ce qui est à attendre avec la probabilité
Fig. 28.
volume du segment PAB
ou, en posant OP bilité
volume de la sphère '
= r, PC = ç, Z OPQ = e, avec la proba-
7Tr^{l—C0Sey (2 + 003
(1 — ra'î(9)«(2-f ro««).
L'élément en Q de la surface de cercle, lequel élément correspond aux changements dq, dS de o, de ^, est q dB dg; par conséquent, l'élément do la sphèir m (j égale çdOdç . 2tiq >ni 0; conséquemment, la probabilité d'une position caractérisée par les arguments q, S du point Q est
2n Q' sinO dOdo 3 . . /. j/» , ~l ^2?^ **'* ^•
Des deux probabilités simples 1) et 2), résulte la probabilité totale, composée d'un angle obtu en P
1 ircos
p^ = A r /*(! cos Bf (2 -f cos B) Q^ sin BdB dç
0 0 n T ircosfi
(2 — 3 cos d -}- cos^ B) Q^ sin BdB dç
= {2 — ScosB-\- cos^ B) cos^ B sin BdB
2. Recherche de la probabilité pour que l'angle en Q soit OBTU. Avec la position invariable de Q, l'angle PQB sera un angle aigu lorsque le troisième point R tombe dans le segment CDB qui est découpé par le plan CD mené par Q normalement k PQ; ce dernier événement est à attendre avec la probabilité
A rTïT) \-7i:^'^il — cosB-{-^U2. + cosB—^
d.segm. CD^ 3 \ ^/ V rf
volume
volume de la sphère
^(l^cosB + ^y {2^^cosB-^^
et comme la probabilité de la position marquée de Q est la même que celle qui a été trouvée tantôt dans l'équation 2), la probabilité totale d'un angle aigu en Q est
■i ir cos b
/>y = g|^ f f(l — case -]-^y^2 -j- cosB — ^\ ç-'sinededç
T >ir cas a
g^ r r ^2 — 8 cas e -\- cos^ <9 -h 3 ^ sin^ B » 0 +S-^cose — ^\Q^sinededQ
de là, la probabilité d'un angle obtu en Q
5) Pc = j^;
de même, on a
Par 3), 5) et 6), s'obtient la probabilité pour que le triangle
PQR soit OBTUSANGLE
7) p — Pp + Pq -\-Pr = Yq »
et par là, la probabilité demandée, pour qu'il soit acutangle,
50. Surfaces d'égale probabilité. — Comme dans des lignes et dans des surfaces, dans l'espace, la disposition des points peut s'écarter de la répartition jusqu'ici supposée régulière. La probabilité pour qu'un point, saisi à volonté, tombe dans un élément désigné d'espace, dépend alors non seulement de la grandeur, mais aussi de la position de cet élément.
Si l'on l'apporto l'o^par-c à un systômo de coordonnées i<(l;iiiL:iil.iii rs c't coiiMiln .■ rdcimiit [lai allt'lii)ip('dique dont I(> • (M.r.loiiiu'es d'origine >«'iit x, //, z et dont lo 'linK-nsions sont dx^ (///. >i:. la probabilité d'un point de cet élément apparaît sous la forme
1) p = q>(x,y,z) </■' <hj <h, et la fonction
est proportionnelle à la compacité, à la densité des points dans l'élément considéré. Interprote-t-on le mot densité dans le sens que lui attribue la physique, en se i . pf -, ntant l'espace empli de matière? La probabilité d'un point dans une partie limitée, d'une manière quelconque, de l'espace, peut être marquée comme le rapport de la masse dans cette partie d'espace à la masse dans l'espace, totale, venant en considération.
Soit u == constante = cÂ:, il vient
cette équation représente une surface dans laquelle règne une égale densité des points ou une surface d'égale probabilité, parce qu'un point pris à volonté peut appartenir avec égale probabilité à des éléments d'espace également grands se joignant dans une telle surface.
51. Exemple. — Les coordonnées redaufjul aires d'un point dans Vespace ont été mesurées; à chacun de ces mesurages peut adhérer une erreur entre les li mites ±a, cependant la probabilité (/' ^''/-niir diminue proportionnellement à sa gran-
iliu,. ihrnmnr la probabilité d'une position du point à déternn/irr.
Solution. — L'origine du système de coordonnées, pris pour base de la considération suivante, est la position vraie (inconnue) du point à fixer
Nous considérons une position P ou mieux les positions voisines de ce point qui naissent de certaines erreurs dans les coordonnées, quelles erreurs se trouvent respectivement entre x et x -\- dx, y et // -j- dy, z et z -\- dz. Les probabilités simples des erreurs dénommées sont (comp. au n<> 46)
r— dx^ r-^ dy, r— dz,
la probabilité de leur rencontre ou d'une position du point de la modalité décrite est
L'équation générale des surfaces d'égale probabilité s'énonce
2) (a — op) (a — y) (a — 2r) = c^.
Toutes les positions possibles du point remplissent un cube de côté 2a et de centre 0; les surfaces d'égale probabilité sont disposées symétriquement dans les octants de ce cube et les huit surfaces qui ressortissent à la même valeur numérique de c, sont liées l'une à l'autre dans les plans y z; z x; œ y\e long d'hyperboles équilatères.
Remarque. — Les erreurs dans les coordonnées suiventelles la loi des erreurs de Gauss? Alors, pour un point dont les coordonnées reçoivent des erreurs entre les limites x et X -\- dx, y ety -\- dy, zetz-{~ dz^ la probabilité s'écrit
hh'h" -(h^x^ + h".y^-k-h"^,^)
p =^ — T= e dx dy dz.
Les surfaces d'égale probabilité ont l'équation générale A2 x^ + h'-' y^ + h'"" z^ = c\ sont donc des ellipsoïdes concentriques, semblables, de position semblable; on pourrait les appeler, analogiquement aux ellipses d'erreurs dans le plan, ellipsoïdes d'erreurs. Lorsque deux des constantes sont égales à /i, ce sont des ellipsoïdes de révolution, et, pour le cas h = h' = h'\ des surfaces sphériques.
