p^ = ip(AB, DE) + 2p(AB, FE) + 2p (CD, H G

en cela

p(AB,DE)==p(AC,CE)—p{AC,CD)—p{BC,CE)-]-p{BC,CD) = (p{2a, 2b) — (p{2a, b) — <p{2b, a) + (p(a, b) ;

la probabilité p{BC, CD) doit être ajoutée, parce qu'elle est aussi bien la composante de piAC, CD) que de p{BC, CE), et par conséquent, elle était soustraite deux fois au lieu de simplement une fois;

p(AB,FE)^p{AC, GE)-p(BC, GF)—p(AB, GF)

-p(BC,FE),

et comme manifestement p(BC, GF) =p(AB, FE), ainsi on a ensuite

2p{AB, FE) = ip[{2a), 2b] — 2xp[(a), 25],

analogiquement

2p{CD, HG) = ip[(2b), 2a] — 2ipl{b), 2a];

conséquemment est

^.\p^ = M(p{2a,2b)-<f(2a,b)-ip{2b,a)^ip(a,b)\

^M -hip[{2a),2b] + ip[{2b),2a]-2\ifi(a),2b]-^xp[(b),2a]l

Finalement, les valeurs formées suivant les formules 1), 3) du n^ 70 des fonctions pai-ticulières <f, \p devraient être introduites dans les expressions 1), 2), 3) et le diviseur supprimé, 4:71 a b, serait à rétablir.

Pour le cas spécial où les vitres sont carrées, les formules se simplifient comme suit :

(?>i = 4ç)(a, a), 4)}p,==S\ip(2a,a)-(p{a.a)\-^4xp[{a),2al

(^, = 4jy(2a,2a)-2y(2ûr,a)-fy(a,a)j + 2ji/^[(2«),2a]-2V/L(«),2a]};

dans ces valeurs, par les notions préliminaires du n** 70, on a

yK«)==a«(i/.2).

y(2a,a) = a«(ÎM0~-y/.2), y (2fl,2i?) = o«(2/.2),

ip\{al2a] = a^iarctang\ 4- 8 / . 2 — 4/ . 5), tp \{2a),2a\ == a^ {271 — 4 l ,2);

si Ton introduit ces valeurs dans les expressions ci-dessus, on obtient finalement

/i, -=-p-| \2l ,2 — 6 1 .h -^ 16 arc tang \ |, ^;^ = -L j 6 / . 5 14/ . 2 4- 47r — 16 arc tang f |;

la somme />,+/>«+ Pz, comme ce doit être, est égale à 1. Les calculs spécifiés, faits abrègement, donnent

Observation. — M'Coll trouve, par une autre voie (v. Éduc. Tim., tome XVI, page 31),

pour a = Î6, /), = 0,10833, p^ = 0,49251, p, = 0,39916 ; „ a = 2b,pt= 0,09955, p^ = 0,53100, i?, = 0,36945.

72. Remarque. — Pour la détermination expérimentale des probabilités qui correspondent au cas spécial a = b, l'auteur a disposé une série d'épreuves, dont les résultats sont indiqués ci-après. En considération du mode primitif de l'exécution des épreuves, l'accord des probabilités déduites de l'expérience avec les valeurs théoriques peut être signalé comme suffisant.

Sur une feuille de papier à écrire, orbiculaire, était dessinée la figure correspondante à la question par des lignes au crayon; ensuite, avec la pointe du crayon, en aveugle, un point était marqué et, en même temps que le crayon reposait encore sur le papier, une règle était appliquée contre le crayon et la ligne tracée. Se comprenant de soi-même, les points, à l'extérieur de la figure, demeuraient là. Après chaque épreuve, la feuille de papier était tournée.

Au total, 2120 épreuves ont été effectuées sur six feuilles;

dans 208 cas, la ligne atteignit une vitre, „ 1064 , „ „ „ deux vitres,

- 848 „ „ - - trois vitres.

Les probabilités d'expérience correspondantes sont

auxquelles font face les probabilités mathématiques

73. Problème XV. — Sur un châssis se composant de neuf vitres rectangulaires égales, est marqué un point et par celui-ci est tirée une droite dans une direction arbitraire. Déterminer la probabilité pour que la droite croise une, deux, trois, quatre, cinq vitres.

Solution. — Comme dans le problème précédent et avec l'utilisation des mêmes désignations abréviatives, on obtient par l'examen de la fig. 36 pour les probabilités requises Pu Pîj'" Ps les expressions suivantes, dans lesquelles le dénominateur commun 9nab est supprimé provisoirement :

1. p^ = ip (CD, DE), et comme p.(CD, DE) = (p (a, b), il wient