Soit a < 5< 2r, c'est-à-dire soit l'aiguille plus longue
que l'une et l'autre distances. Dans ce cas, les deux dimensions
du rectangle ABCD (fig. 33) peuvent devenir négatives.
L'intégration de (ce) est à limiter donc seulement au domaine
de 0, pour lequel domaine, simultanément est
2rsin6<^a et 2rcosO<Zb.
ou ^ ^ '
S < arc sin — - et © < arc cos ^z — ^ 2r 2r
Donc, pour ce cas, on a
arc cos — arc stn — —
r2de [ ir r, \ . . - n o - a a\^i^ . C^^^
f)= I — r / {acos6-{-hstn6'2rstn6cos6)dd-\- /
' / TT Tiab I 'In
arc cos — arc stn —
tr 8r
2 / a . i \ , a« -f- 6« + 4 r«-2 a V^ r« -i*-2 W4r«-a« = — [arc cos ^7- + «^c cos 5— I H ^L-^ 3—
TT \ 2r 2r/ 7ra6
Cette dernière déduction est valable de nouveau seulement
sous la condition
b ^ .a arc cos s— < arc stn s— 2r ^ 2r
ou
2r<V«* + ^*; aussitôt que celle-ci n'est pas remplie, que l'aiguille est donc
plus longue que la diagonale d'un champ, que l'aiguille dans
toute position doit rencontrer les lignes de division, il vient
Loi*sque les champs sont quadratiques, a^5<2r<a ^2, ]a formule 2) fournit
4 a , 2a«-f 4r« — 4aV4r« — a« 3) » s=a - arc co5^r- H r-'^
HEMARguE. — Si, dans la formule 1), on fait croître h à l'infini, on obtient
p = - arc cos 75- H (2r — \ 4r* — a%
s'accordant avec le résultat du problème X, n° 67, qui, par la transformation dite, devient identique au présent problème.
70. Problème XIII. — Dans la surface d'un rectangle, un point ijuelcomjue est pris et par celui-ci une droite est menée arbitrairement. Trouver la prohabilité pour que la droite coupe les côtés contigus, les côtés opposés.
Solution. — 1. Soit ABCD (fig. 34) le rectangle, AB=a, BC = b. Nous cherchons premièrement la probabilité pour que les côtés accouplés AB^ BC soient coupés. L'inclinaison de la droite à envisager sur ^^ se trouve entre
les limites 0 et arctang — ; on
mène par A une droite AE ayant
l'inclinaison représentée B; et on obtient, pour la probabilité
correspondante, l'expression
de JABE^aUange dB , n ' ABCD~ 2ab ' n '
d'autre part, l'inclinaison de la droite sur AB est comprise
entre les limites arc tang — et -^ î ou, sur CB^ entre 0 et
arctang-j- î on mène par C une droite CH de l'inclinaison
représentée 6', et on obtient comme probabilité pour que la droite menée arbitrairement par le point pris à volonté, avec cette inclinaison, rencontre les côtés AB, BC l'expression
dS' JBCH ^bHangS' dS' n ' ABCI)~' 2ah ' n '
par conséquent, la probabilité totale de l'événement mentionné est égale à
arc tang — arc tang —
1 j?!+l^.(,e + t,)^';.„.|.U,j=.Wa,*)
Tiab} 4 -v ' ''-' 2 * 2 • ( nab
Cette probabilité est la même pour chacune des trois autres couples de côtés contigus; de manière que la probabilité totale de la coupure de côtés voisins égale
lorsque, par c, la diagonale du rectangle est désignée.
2. Les côtés opposés AD, J50 peuvent être coupés seulement lorsque la droite a une inclinaison sur A B entre 0 et
arc tang — ; et pour une inclinaison déterminée ô, la probabilité y relative est
2de AECF 2{ab-'a^ tang S) dO
~7^' ABCD~ ab ' n'
par conséquent, pour toutes les inclinaisons admissibles, elle est
arc tang —
\ J^ f2{ab-aHge)de = —-A2abarctg \- 2aUM-a''l.(a^ + b'')\
nab Par des considérations semblables, on trouve la probabilité de la coupure de ^ -B, Z> C, à savoir
arc tang —
-^ f2(ab-bHge')de' = ^ j 2abarc tg^-\-2b'l, b- />« / . (r/« -f />*) j
0 xplialb-]
nab
par 8) et par 4), s'obtient onfin la probabilit-é do la coupure do côtés opposés, c'est
p^==~^^\afm-\-2a*l.a+2bU.b—{a*-^b*)l.{a*-\b*)\
^ ~nab^'a*^'^b^^~^^ ^'"
F*our le cas spécial d'un carré, est
FIg. 35.
Ji
71. Problème XIV. — Dans un châssis composé de quatre vitres rectangulaires égales,, est pris un point, et par celui-ci est menée une droite dans une direction at'bifraire. Trouver la probabilité pour que la droite croise une^ deux,, trois vitres.
Solution. — La largeur des joints est supposée imperceptible, et par conséquent négligeable. ACE G représente le châssis (fig. 35) dont les vitres possèdent la largeur a et la hauteur b.
Pour la désignation abrégée de la probabilité pour que la droite menée coupe deux étendues, par exemple BCet CD, nous nous servons, dans la suite, du symbole p (B C, CD), puis nous écartons provisoirement pour la simplification ultérieure '' encore le dénominateur 4:71 a b commun à toutes ces probabilités, lequel correspond à la quantité de toutes les droites possibles. Alors se livrent pour les probabilités exigées, que nous désignons par />j, p^. p„ par l'examen de la figure et par l'utilisation des fonctions <p, xp trouvées dans le problème précédent et définies par les équations 1), 3), 4), les expressions suivantes :
