p, = 4i>(^iî, J5;F) + ^p{G F, J5C) + 4i)(i?(7, HG

+ ^p(EF, A M); maintenant

p(AB,EF)=p(AD,DF)—p(AD,DE)-p(BD,DF)-\-p(BD,DE) = ç)(3a, 26) — y (3a, 6) — y (2a, 26) + y (2a, 6),

le terme p(BD, DE) est ajouté parce qu'il est aussi bien le composant de p (A /), D E) que de p (BD, D F), par conséquent il était déduit une fois de trop; p(GF, BC) s'obtient de l'expression précisément acquise par la permutation de a avec 6;

p(BC,HG)=p{BD,JG)'p(CD,JR)'p(BC\JH)-p(CD,HG),

ou, parce que manifestement

p(BC,HG)^p{CD,JH) et p(BC,JH)=p{CD,HG),

2p{BC;HG) = ï//L(2a), 36] — 2ip[(a), 36];

pour p(EF, A M) se livre une expression analogue par permutation de a avec 6; conséquemment, finalement s'obtient

5. p, = ip{AB, FG) + 2;>(^^, iy(?) + 2p{GF, AM); dans cette valeur, est

— p (BD^ DF) doit être ajouté, parce que ce ternie, aussi bien dans p (AD, DF) que dans p (BD, DG\ venait en déduction : par conséquent deux fois;

p (AB, HG) = p {AD, KG) —p(A (J, HK) - p [BD, JG) -p (CD, KJ) +p(BC\ JH),

etcommep(AB,HG)^p(CD,KJ)etp(AC,HK)==p(BD,JG), ainsi est

2p (AB, HG) = ip [(3a), 3 J] — 2 i// [(2a), 3&] + ip [(a), 36 1; pour 2^ (GF, AM), se livre une expression semblable par permutation de a avec h ; par conséquent est

p^^^4:\^(Sa.3b)—<f(Sa,2b)—(p(2a,U)-^(f(2a,U)\ + i//[(3a,361-2V^[(2a),3&] + i/^[(a),3è] + V/[(36),3a| — 2ipl(2b)/da]+ip[(b),3a).

Dans les expressions 1) à 5), les valeurs formées suivant les équations 1), 3) du n° 70 des fonctions particulières (p et ip seraient à introduire maintenant et le dénominateur commun, 97T ab, devrait être rétabli.

Nous nous restreignons dans le développement ci-après de nouveau seulement au cas le plus simple des vitres carrées; les fonctions particulières reçoivent alors les valeurs suivantes :

(f (a, a) ^ a' (il. 2),

y(3a,a) = a2(|/.10 — 1/.3), (f (2a, 2a) =^ a' (21.2), (fCda,2a) = a^ (VM3 — 1/.3 — 2/.2), g>(Sa,Sa) = aH^,l.2),

xp I (a), 3 a] = a* (6 arc tang J + 18/.3 — 9 /. 10), ip [(2a), 3a I = a« (12 arc tang \ + 18/. 3 — 9/. 13), ip [(3a), 3a] =- a* (> — 9/. 2);

pour les probabilités, se livrent donc les valeurs suivantes :

p, = -^{iOl. 10-301. 2), 6) / /,, = J- (62 / . 2 + 72 / . 3 - 51 / . 1(> H 36 arc laitg J),

y>. -0^(62/. 10-58/. 2-72/. 3-10/. 13 -f48[arc<^|-a/-c<(/|l),

p, = J-(24/.2 + 10/.13-18/.10 + 97rH-12arc/5r^48rtrc/</|).

Leur somme est nécessairement l'unité. Les valeurs réduites de ces probabilités sont :

74. Remarque. — Elise Blackwood communique dans le tome XVI de FEduc. Tim., page 55 et pages suivantes, les résultats qu'elle a obtenus expérimentalement pour ce problème proposé par elle. Les épreuves s'exécutèrent de la manière suivante : Sur un disque orbiculaire de papier fort, d'un côté du papier était mené un diamètre et au centre de celui-ci, de l'autre côté, était fixée une épingle. Autour de celle-ci, comme autour d'un pivot, le disque avait été tourné jusqu'à ce que le frottement eût été vaincu; de telle sorte qu'une légère impulsion suffisait à mettre le disque en rotation rapide. Sur une feuille de papier était dessinée une figure correspondante au châssis, par conséquent, divisée en tableaux. Sur l'épingle tenue avec la tête vers le bas, le disque était mis en rotation ; pendant le tournement, un point était marqué à volonté sur le châssis, puis le disque soudainement arrêté était posé sur le châssis de façon que la tête de l'épingle, le plus possiblement exactement, coïncidât avec le point marqué. On notait combien de tableaux étaient rencontrés par le diamètre imaginé prolongé. Semblait-il que ce diamètre passât par un point oîi quatre tableaux représentant quatre vitres se joignent? Dans ce cas, non pas deux mais trois

tal)l(inix ('taient comptés parce qu'il est certain moralement, avec la largeur à se représenter infiniment petite des lignes de division, que la ligne ne rencontrera pas exactement un tel point. La ligne paraissait-elle passer par un point oîi deux tableaux se touchent, du bord du châssis? Le doute subsistait réellement; une telle épreuve était notée conséquemment dans chacun des nombres douteux par y.

Au total 1150 épreuves ont été eifectuées avec le résultat suivant :

une vitre fut croisée 58 fois, deux vitres furent croisées 98 „ trois „ „ „ 391| „

quatre „ „ „ 405 „

cinq „ , „ 197^ „ .

Les probabilités expérimentales calculées avec ces nombres, 0,050, 0,085, 0,340, 0,352, 0,173. s'accordent étonnamment bien avec les valeurs théoriques 0,049 . . . , 0,079 . . . , 0,330 . . . , 0,374 . . . , 0,168 . . . ,

en considération du petit nombre des épreuves (comp. au n« 72).

75. Problème XVI. — Sur un châssis de quatre vitres rectangulaires égales^ une droite est menée arbitrairement, Touver la prohahilité j)our que la droite croise une^ deuXy trois vitres. '

Solution. — La différence entre ce problème-ci et le problème XI V^ du n^ 71 consiste en ce que là, après la prise du point arbitraire, il n'est plus à prendre arbitrairement que la direction de la droite, tandis qu'ici la position et la direction sont indéterminées et quelconques. Cependant le présent problème établi par Watson (Éduc. Tim., tome XVI, page 32 et pag. suivantes) fut interprété et résolu dans le sens premièrement indiqué. par M'Coll et J. W. Mûller (1. c), ceux-ci définissant une droite menée arbitrairement, une droite qui est menée par un point quelconque dans une direction quelconque.

Nous désignons les probabilités requises par />„ />«. p^.

A C KO (fig. 37) représente le châssis; AB = a, A H — h, A () = c; A X est une droite menée de .1 dans une direction quelconque, laquelle droite, avec A C, forme l'angle CAX = S; on mène par 5, D, F, H, C, G Fig. 87

les droites BJ, DK, FL, HM, NP, QR parallèlement k AX.

Aussitôt qu'une droite de la direction ^X tombe entre NP et J5Jou entre FL et QR, elle croise une vitre; deux vitres lorsquelle vient à se trouver entre BJ et DK on entre FL et H M; enfin trois vitres lorsqu'elle se trouve entre DK et H M. On construit Cmn, Gpq, Dr rectangulairement à AX; pour les événements rapportés, aussi longtemps que S est plus petit que CA 0 = a, s'obtiennent les probabilités

(Cw-f G2j)de 2asinede N N '

{mn -\- pq) dB 2 (b cos 6 — a sin 6) dO

Dr. de 2asmSde

N dans ces valeurs, on a

y= / \2a sinS ~{- 2 [b cosB — a sinS) -\- 2a sinS] d s

2 j{a sin S

-{-bcose)de = 2 {a + b).

Lorsque S devient plus giand que ce, a etb échangent leurs rôles et à la place de 8 vient son complément ; les probabilités poué ce domaine de valeurs de 0 et pour une direction déterminée sont donc

2hcosede 2iasin0 — bcose)de 2b cosO dB

Par conséquent est

pi = pi = , . \a I sin6 dO + b 1 cosOdol l)et3)( a + bl J J ^

--^ — r-T \a~\- b —{acos cc-\-b sin a)\=^l ,— '

/>i = ■ J / {bcosB — a sin 6)d6-{- j (a sin B — bcosB)d b\

A l'aide de ces formules on trouve, par exemple, pour a = b,.. p^ =p^== 0,29289, p^ = 0,41421 ;

, rt = -i /> . . . p, = ^3 = 0,2857^, p, = 0,42875 ; „ a = 2b... p,=-p, = 0,25464, p, = 0,49071. (Comparer aux résultats du n** 71).

76. Problème XVII. — D'un point pris arbitrairement dans un cercle donné, une droite de longueur donnée, de directio7i quelconque est menée. Trouver la probabilité pour que la droite coupe la circonférence du cercle.

Solution. — Soit 0 (fig. 38), le centre du cercle donné, r son

rayon, a la longueur donnée. Supposé que le point marqué

Fig. 38. arbitrairement tombe à la distance x

^ ^^^ de 0, par exemple en P — la proba-

/ /y^r^ bilité correspondante est r— =

l \ \W/ —^xàx — ; on décrit de P comme

\^ ^^^—^ centre avec la longueur a comme

— rayon un cercle qui coupe le cercle

donné en A, B. La droite menée de P ne coupe la circonférence que lorsqu'elle tombe dans l'angle A PB = 2 / APC;

/ APC la probabilité y relative est Dans le triangle A OP,

on a

r« = a?« -f a* + 2a X cos APC;

s'en ensuit r* — a* x*

/ APC=^ arc cos ^

La probabilité totale, composée de l'événement en question est donc

p = — - I X arc cos ^ «^•

^ TTr* / 2ax

Par intégration par parties, se donne premièrement /• f«-a«-aT« x^ r^-a*-x^ 1 T r«4-a?«-fl« ,

/ jarCCdS—rr- dX=-rr- OVC COS —^ -x I , X(lX\

J 2a^ 2 2nx 2J \/4a*a-*-(r*-a«-a:«)«

si Ton fait usage, sous le signe d'intégration, à main droite, de l'identité

4a« x^ — (r« — a« — x*)* = 4a« r^ — (r« + a« — a;»)», il vient

i X arc cos ^ ax=-^arccos — =i 1 — ^ / =

J 2a.r 2 2nra^ 2 / ^/4^^,^,.(^, |. ^..^.j,

J r-2{r^-}-a^'X*).-2xdx ^ J \Ua*r*-(r*-\-a*'X^Y

= -^r- orr cos — ^ ?r <^rc cos x

2 2oa? 2 2ar

Après introduction des limites, on obtient finalement