a , aV*»-* — o

^ = — arc stn -— H — ^^i ;

^ Tir 2r 2 7rr*

La déduction a été effectuée avec la supposition a <^ r; pour a > r, le môme résultat s'obtient après un calcul semblable.

Pour a = 2r, comme ce doit être, on trouve p — 1, et pour a =- r

77. Problème XVIII. — Sur la circonférence d'un cercle (lotmé, deux poinU sont pris orhitrairement et par chacun d'eux une droite de direction quelconque est menée. Découvrir la proha- Inlité pour que ces droites se coupent dans le cercle.

Solution. — Soit 0 (fig. 39) le centre du cercle, P un des deux points, POB le diamètre mené par lui, PA la droite menée arbitrairement. L'angle BPA est désigné par B. La probabilité de la

direction prise, PJ,est égale à —

FjK. 39.

tivement

Le second point Q peut tomber, ou sur l'arc P3//1, ou sur l'arc PNBA; les probabilités y relatives sont respec-

Tt -\-2e

PMA =

Dans le premier cas, l'angle

» dans l'autre cas l'angle PNA

sont une mesure de la quantité des directions favorables de la seconde droite. La probabilité totale, composée do l'événement en question est par conséquent

^yi;

i^fi^'-^dS^l-.

78. Problème XIX. — Par les sommets du grand axe d'une ellipse donnée sont menées deux lignes droites de directimis quelconques. Déterminer la 'probabilité pour qu'elles se coupent à V intérieur de V ellipse.

Solution. — Soit le rapport des axes de l'ellipse

On mène par^iet parJÎ(fig.40) des lignes droites qui se coupent

en un point Pde l'ellipse, et on désigne les angles PAB, PBA,

que ces droites enserrent avec A B,

par 9» et tp. Puis, si Ton désigne

les coordonnées du point P, par

rapport au centre de l'ellipse, par

X, y, on a

ta)igw = — 7 — ♦ ' *' —

d'oîi

fafig ip =

trnig <f tang \p =

En vertu de la symétrie de la figure, il suffira de chercher la probabilité pour que l'intersection des droites menées par A et par B advienne dans un quart déterminé, par exemple OBC^ et de quadrupler cette probabilité.

Tant que l'angle FBA = tp est plus petit que l'angle CBA = arc tang m, la droite BP est coupée par les droites menées par A dans le quart indiqué, lorsque l'angle d'inclinaison y de ces droites est plus petit que ip.

Mais l'angle PB A = xp devient-il plus grand que l'angle CBA = arc tang m> L'intersection dans le quart indiqué n'arrive que lorsque l'angle d'inclinaison (f de la droite menée par A demeure sous la limite marquée par l'équation 1), donc lorsque y < arc tatig {m^ cotg ip).

Conséquemment, la probabilité requise est

drc tang m ^u

arc tang («• cotg w,)

r-'lJ'-^pj-f'^J'^l

arc tang m l)

! {arc tatig my + 2 / arc tang (m* cotg xp) d ift

arc tang m

- lia -

La fonction cyclométrique sous l'intégrale, développée en série, donne

arctg(m^ cotg xp) = m^ cotg \p-{m^ cotg^ V' + i W<^ cotg^ tp-jin^* cotg'' ip-\-...;

on considère ensuite l'identité rnfg*' xpdxp^^ cont"'^ ip {cosec^ ip'\)dip = - cotg**-^ \p d {rofg ip) - rofg*''^ xp d ip;

ainsi devient

arc tang (m* cotg ip)d ip

arc tang m

Um* 2m* \l + w7*J •

1 uT 1

et

2 / arc tang {m^ cotg \p)d\p

arc tang m

arc t

Par introduction de cette expression dans l'équation 2), on obtient finalement

Pour le cercle, où m = 1, l'équation 2) s'écrit plus simplement

« '-IIS+^Af-")"*!-!

Pour de petites valeurs de m, la série développée de p est fort promptement convergente.

79. Théorème III. — Le nombre de toutes les droites arlitraires qui coupent une courbe plane^ fermée, convexe est mesurée par la longueur de la courbe.

Démonstration. — Nous nous représentons un des systèmes do parallèles, desquels la totalité en question est composée (v. n" 55); ce système peut, avec une direction fixe, comprendre l'angle ^. La quantité des droites de ce système est mesurée par la distance perpendiculaire des lignes limites AC et BD (fîg. 41), par AB = b. La quantité des droites des systèmes qui forment avec la direction fixe des angles entre 6 et 6 -\- dS est exprimée conséquem- ® ^

ment par bdO et la quantité de toutes les droites qui coupent la courbe par

1) fbde=^L;

dans cette expression, L signifie la longueur de la courbe.

Remarque L — La proposition ici utilisée est un cas spécial de la proposition générale sur la rectification des courbes planes, proposition générale que Cauchy a indiquée sans démonstration dans le XIII® tome des " Comptes rendus „ (1841, Juillet/Décembre, page 1060). Celle-ci s'énonce comme suit : " 0 désigne l'angle qu'une droite 0 0' menée à volonté , dans un plan forme avec un axe fixe XX' ; L, la somme , d'une ou de plusieurs longueurs mesurées sur une ou sur „ plusieurs lignes droites ou courbes fermées ou non fermées;

r, P, la somme des valeurs absolues des projections des „ éléments de L sur 0 0'; on a

Pour obtenir la démonstration, il suffit de considérer une *''*^- ^'^' seule longueur L (fig. 42) mesurée

sur une droite qui forme, avec l'axe fixe XX', l'angle a; la projection de cette longueur — ou la somme des valeurs absolues des projections de ses éléments — sur 0 0' est P = Lcos(oc — e); par conséquent

f Pde= Lf cas {a — e)de.

Si l'on intègre des deux côtés entre les limites — tt et -|- tt, cependant pour des valeurs absolues de P, à droite donc pour des valeurs absolues de œs (a — 6), on obtient

Çpde = L . 4 fcos (a-e)de=4 L;

d'où résulte effectivement

L=-A- l PdS,

L'extension de la proposition à une courbe quelconque ne nécessite pas d'explication plus ample.

Particulièrement, la courbe est-elle fermée et convexe (fig. 43, p. 115)? Pou la somme des valeurs absolues des projections de tous les éléments est égale à la double projection AB = b de la courbe entière sur 00' ou à la double largeur mesurée dans la direction de 00' de la courbe. On a par conséquent

FlK. 4:i.

et comme, par le tournement de 00' tracé par les limites

d'intégration, toutes les valeurs

de h se présentent deux fois et

toutes les valeurs en général se

présentent entre 0 et n, ainsi aussi

est

L==fhde;

par quoi, la proposition plus haut utilisée est démontrée.

Remarque II. — Si l'on mène d'un point 0 (fig. 41) fixe, choisi à l'intérieur de la courbe, une perpendiculaire OE = p à la tangente A C, on peut écrire aussi pour 1)

f]>de

80. Théorème IV. — Le nombre de toutes les droites qui coupent une courbe non-convexe, fermée^ est mesuré par la longueur du fil tendu fermement autour de cette courbe.

Démonstration. — Car toutes les droites qui coupent la courbe AB'CD' (fig. 44) convexe, cernant ^ B CD, rencontrent aussi la courbe ABCD non-convexe et hors de ces droites il n'y a aucune droite qui com^^ ABCD.

81. Problème XX. — Une courbe convexe, fermée, de longueur L entoure une seconde courbe pareille, de longueur 1. Trouver la probabilité l><mr (pi une droite coupant L rencontre aussi 1.

Solution. — Sans explication plus ample, se donne

^ = T' la probabilité requise est donc indépendante de la situation iiutif. li'lative des deux courbes.

Remarque. — La rectification expérimentale d'une courbe

convexe, fermée pourrait être fondée sur ce qui précède.

(Rapprocher de la réflexion à la suite de laquelle Laplace

introduit le problème de l'aiguille. Théo. anal, des prob.,

pag. 359). On enceint la courbe à rectifier d'une autre ligne

(cercle, polygone) convexe, fermée, de longueur connue, L ;

on mène dans le plan des deux courbes un grand nombre s

de droites arbitraires coupant L et on compte celles qui

rencontrent aussi la ligne de longueur inconnue l; soit tw leur

nombre. D'autant plus grand est s, d'autant plus exactement

concluera l'équation

de laquelle, résulte l = — L.

82. Problème XXI, — Un disque, de périmètre convexe^ de forme qiielconqtie, est jeté sur un plan qui est traversé par une suite de parallèles équidistantes. Supposé que le disque ne puisse en aucune position rencontrer en même temps plusieurs lignes de division, déterminer la probabilité pour que le disque rencontre une ligne de division.

Solution. — Le présent problème permet l'interprétation suivante : le disque dont la courbe de contour a la longueur / est enceint d'un cercle L dont le diamètre est égal à la distance réciproque a des lignes de division. Actuellement, une droite est menée arbitrairement, qui coupe le cercle. Quelle est la probabilité pour qu'elle rencontre aussi la courbe /?

En vertu du problème précédent, la probabilité est

^ L na Le cas le plus simple du problème de l'aiguille de Buffon (v. n** 64) peut être interprété comme un cas spécial du présent problème, en supposant que l'aiguille est la limite d'un disque elliptique à axe secondaire s'évanouissant et à axe principal de la longueur 2 r, plus courte que la distance a des parallèles. Alors est / = 4r et

4r ^ '^ na

Remarque. — Dans le problème ci-dessus, se trouve renfermée la solution générale du jeu de hasard appelé par les Français " Jeu du joint couvert „. Le parquet d'une chambre est divisé par des joints parallèles en bandes d'égale largeur; une monnaie est jetée sur ce plancher. Avec quelle probabilité rencontrera-t-elle un des joints, supposé qu'elle ne puisse jamais en rencontrer plus d'un?

Dans le journal de Liourille (1860, pag. 273), E. Barbier nous apprend que Lamé, dans ses leçons à la faculté des sciences, en 1860, comme jonction au problème de l'aiguille, a traité le cas plus général : un disque, au lieu d'une aiguille, est jeté, dont le contour est un cercle, une ellipse, un polygone

régulier. De ce que, dans ces trois cas, l'expression — est

obtenue comme résultat final. Barbier conclut que ceux-ci sont des cas spéciaux d'un théorème général. Barbier produit ce théorème, qui trouve dans la solution du problème actuel son énonciation, et le présente, quant à l'exposition, sous la forme d'un jeu de hasard. Il trouve d'abord que la probabilité de la rencontre d'un joint par le disque dépend de la longueur de son contour, et il indique ensuite la voie par laquelle on

peut parvenir a 1 expression

83. Théorème V. — Le nombre de foutes les droites arbitraires qui coupent en même temps deux courbes fermées, convexes, extérieures l'une à l'autre est mesuré par la différence des longueurs de deux fils sans fin les embrassant; le premier fil se croise entre les courbes. Vautre est en dehors d'elles.

Démonstration. — Dans la fig. 45 (p. 118), P QH, F'Q'W sont les deux courbes; le fil se croisant se compose des arcs PHQ, P'H' Q' et des tangentes communes intérieures PP\ QQ'; soit X sa longueur; le fil extérieur se compose des arcs RHS, R'H'S' et des tangentes communes extérieures RR', S S' ; soit Y sa longueur. Nous nous servirons ci-après, pour la désignation du nombre de toutes les droites qui rencontrent une courbe C, du symbole N (0), et pour la désignation du nombre de toutes les droites qui coupent en même temps deux

courbes C, C du symbole N{C, C). Avec ce mode de désignation, s'écrit la proposition à démontrer sous la forme N(PQH,P'Q'H') = X— F.

La totalité en question des droites est manifestement identique à la totalité des droites qui coupent en même temps les deux figures fermées, mixtilignes OPHQ et 0' F' H' Q'; car toute droite qui rencontre ces deux figures coupe aussi les deux courbes données, et il ne peut être imaginé d'autre droite qui rencontrerait les dernières sans couper en même temps les deux premières. On a donc

1) N{PQH,P'Q'H') = N(OPHQ, OPHQ'),

Dans la somme N {0 P H Q) -}- N (OP' H' Q'), est contenue, en plus de la totalité des droites qui coupent la figure croisée PP'H' Q' QH, la totalité des droites qui coupent OPHQ et OPHQ' en même temps. Car cette dernière totalité se trouve deux fois dans la somme considérée, parce que dans chaque terme elle se trouve une fois; mais dans N{PP'H' Q' QH) eWe se trouve seulement une fois; donc, pour établir l'égalité, elle doit être ajoutée une fois ; par conséquent, on a

N(OPHQ) + N(OP'H'Q') = N(PP'H'Q'QH) -h N{OPHQ, OPHQ')

ou en considération de 1)

2) N(OPHQ) + N(OP H' Q) = N(PP' H' Q' QH) + N(PQH,P'Q'H').

OPHQ^ OP'H' Q' sont des lignes convexes, la sonmne do leurs longueurs est X En échange, PP'H'Q'QH est une courbe partiellement concave; la quantité des droites qui la coupent est mesurée par la longueur du fil convexe l'embrassant; mais celui-ci est BHSS'H'R'R et sa longueur ]'. Introduit-on ces valeurs dans 2) V II vient

X^Y+ N(PQH.FQ'Il'); d'où résulte effectivement 3) N{PQH,P'Q'H')^X— Y.

84. Problème XXII. -= Trouver la probabilité pour qu'une droite quelconque qui coupe une courbe fermée, convexe, de longueur L rencontre une seconde courbe située dans le même plan, de même configuration, lorsque les deux courbes sont extérieures Vune à Vautre,

Solution. — En vertu de la proposition susdite et avec les désignations y employées, est

Remarque. — Si la seconde courbe se réduit à un point, on a X = Yetp = 0, c'est-à-dire qu'il est impossible moralement parlant qu'une droite quelconque qui coupe la courbe L passe aussi par le point donné, ou autrement dit, la totalité des droites qui, coupant la courbe L, passent par le point donné, est une fraction infiniment petite de la totalité de toutes les droites qui coupent L.

Cependant, inversement, la probabilité est-elle demandée, pour qu'une droite menée à volonté par le point coupe la courbe L? La réponse s'énonce

dans laquelle ^ désigne l'angle sous lequel la courbe est vue du point

85. Problème XXIII. — Trouver la probabilité pour qu*une droite qui coupe un côté d'un carré donné rencontre aussi le côté opposé.

Solution. — Le présent problème peut être envisagé comme un cas spécial du précédent en considérant chacun des deux côtés choisis du carré comme une courbe fermée de longueur 2o; a est le coté du carré. Ainsi, on a

par conséquent,

86. Problème XXIV. — Trouver la prohabilité pour qu'une droite qui coupe une courbe fermée, convexe, de lomjueur L rencontre simultanément une courbe la touchant^ ayant les mêmes propriétés et la longueur L'.

Dans ce cas spécial du n° 84, on a Jl = L -\- L'; conséquemment,

Les deux courbes sont-elles, par exemple, des cercles de même rayon 1 ? On obtient

87. Problème XXV. — Trouver la probabilité pour qu'une droite qui coupe un côté d'un carré donné rencontre simultanément l'un (désigné directement) des deux côtés contigus.

Solution. — Les deux côtés contigus résultants peuvent équivaloir à deux courbes convexes se touchant, chacune de longueur 2 a, a étant le côté du carré, et, dans ce sens, on a

par conséquent,

88. Problème XXVI. — Trouver la probabilité pour qu'une droite qui coupe une courbe fermée^ convexe, de longueur L rencontre aussi une seconde courbe de même nature et de longueur L' coupant la première.

Solution. — 1. Les courbes se coupent en deux points (fig. 46, p. 121). Dans la somme N(L) -\~ N(L') sont contenues les droites qui coupent la figure partiellement concave ARHBH'A; parmi celles-ci, se présentent seulement une fois les droites qui rencontrent en même temps L et L\

pondant qu'elles apparaissent deux fois dans la somme dite parce qu'elles sont dans chaque terme sommé. Par conséquent, on a l'équation

NiL) 4- ^'iL') == N(ARIIBH'A) + iV(L, L');

le premier terme du second membre se rapporte à une figure concave, qui est à remplacer par *"'*? *'•

le fil l'embrassant, BHSS'H'R'R, de longueur Y. Par cette remarque, s'écrit l'équation ci-dessus