PA-\-AB>?^, AB

liMir (iiiaiititc est conséquemment

= ^AP. AQ.de,

OU, lorsque do nouveau est posé PQ = 6', A P-^ r, est égale à

^r(C-r)de.

Si maintenant A change sa position sur l'élément de surface limité par PQ et par une corde parallèle à PQ à la distance '//'. [Hmv la quantité «les cas favorables correspondants à ces positions de A^ s'obtient l'expression

^dpde r

r(C—r)dr = ^C^dpde,

et enfin pour toutes les positions de^,à l'intérieur de la courbe,

^ffv^dpde.

-Il'

Si l'on introduit, pour l'intégrale, la valeur trouvée au n*» 119, équation2),on a finalement pour la quniitii( des cns favorables

^ J*, pour la quantité des cas possibles J^ de manière que

la probabilité requise

est indépendante de la forme plus ( xjilic it» do la courbe.

121. Problème XLII. — Al'hiti'r'nur d'une courbe fermée^ in,,i >.ir, ,h itj i„,'t,ih s(nif pris arbitrai nui mt ; trouver la probabilité pour qu'une sécante menée à roi ont/' (h h courbe les

ritrnpn'HHc.

Solution. — On appelle la longueur de la courbe L, sa

superficie J. L'un des points, A (fig. 74), est fixé de nouveau.

^'« "^^ La probabilité pour que le second point

B vienne à se trouver entre les cordes

PQ et P'Q' et à l'éloignement ^ de ^

est^— y — et la probabilité pour que les

points A^ i?, dans cette position réciproque, soient compris dans la sécante

s'élève à y • Etendues à toutes les positions de B entre les

Ij

cordes FQ, P'Q\ ces probabilités donnent la probabilité composée

Pour étendre celle-ci à toutes les positions de A dans l'élément FQ Q" F'\ pendant que la direction de ylJ5 persiste entre les directions de FQ et de F' Q\ on a à multiplier la dernière expression par la probabilité pour que A tombe dans l'élément

contigu dp dr, c'est-à-dire par ^j. , et à intégrer le produit

par rapport à r dans les limites 0 et PQ= C; par cela, on

obtient

^^dpde f\r^ + (C-rf\dr^^C'dpd«.

u Enfin, il en résulte la probabilité totale de l'événement susdit pour toutes les couples de points A, B; elle est

^jjC'dpdB,

l'intégration étendue à toutes les sécantes de la courbe.

L'intégration nécessaire pour l'évaluation de w est exécutable seulement pour certaines courbes.

Ci-après deux exemples.

122. — LA l'intérieur d'un cercle, deux points sont pris arbitrairement; trouver la probabilité pour qu'une sécante du cercle menée à volonté les comprenne.

Suivant l'équation a) du n° 121, est

Dans le cas présent, si r désigne le rayon du cercle et 2u l'angle sous lequel la corde C est vue du centre, est

C == 2r sin a, dp = r sin a da; par conséquent,

in 1 ^ t

c'est 128

123. — 2. Dans la surface d'un triangle équilatéral, deux points sont pris arbitrairement; trouver la probabilité pour qu'une transversale quelconque du triangle les comprenne.

La probabilité cherchée est de nouveau à calculer suivant l'équation à) du n« 121.

Le sonmiet A (fig. 75) est pris comme pôle, le côté AB = a comme direction initiale; ensuite FQ = C est une corde quelconque, AR = p la perpendiculaire menée à celle-ci; ainsi, par la relation

s'obtient ^

cos 0 cosi-^ 61

Si Ton limite l'intégration par rapport h 0 k l'intervalle g" à "g- (dans lequel la perpendiculaire prend toutes les

directions entre AE ± AC et A D), et par rapport k pk l'intervalle 0 k AR' == AC cos (^ — e\ = acos(-^—e\

en conséquence de la symétrie de la figure, on obtient la sixième partie de l'intégrale de la formule a); donc est

f fc'di)(ie = 6 fde f î'^ -sin'^djj

40 ^^ cos*e

Maintenant est

['A^-j) ,^ \ ( de ^ . n [sinOde

r de r 1 sine , i , , /i , i Af i , i , o

/ cos^e [2 co.s^é^ 2 '^Vé 2/Jq 3'4

u ensuite,

et comme est L = -^-^ V3, on a finalement

124. Théorème XIV. — Si Von désigne par p la prohabilité pour (juuup nécantr mrnh à volonté d'une courbe fermée, conrexe comprenne deux points pris arbitrairement à l'intérieur de celle-ci, et par pi la probabilité pour ijue la sécante coupe un

triangle formé par trois points choisis arbitrairement à l'inforieur de la courbe, o« o p, = -^ p.

Démonstration. — ;>, est la probabilité pour que la sécante rencontre une couple de côtés déterminée — manifestement cette probabilité est la même pour toutes des couples de côtés — ; on a

1) Pi=3;?t.

Lorsque A, B, C désignent les trois points, avec les annotations symboliques employées au n° 71, est

p {AB) = p (AB, AC)-^p {AB, BCj^p, ou, parce que p {AB,AC) = p (yiB, B C) = pi,

si l'on introduit la valeur de p^ de cette équation dans 1), se donne effectivement

2) Pi==-2P'

Lorsqu'il s'agit d'un cercle, on obtient pour la probabilité se

trouvant en question, à l'aide de la valeur trouvée pour

» ( = a>) au n« 122,

Pi =

157r2 et lorsqu'il s'agit d'un triangle équilatéral, suivant le n<* 123,

125. Problème XLIII. — A Vintérieur d'une courbe fermée, convexe, de superficie J, deux points sont pris arbitrairement et reliés par une droite. Quelle est la jyrobabilité pour que deux points pi'is ensuite à volonté dans la surface v\g ?•;.

de la courbe se trouvent du même côté de la droite?

Solution. — Soient P, Q (fig. 76) deux points choisis à volonté, AB = C la corde les reliant; on désigne les coordonnées de celle-ci par p, 0; conformément à l'équation a) du n** 119, la quantité des lignes de jonction PQ dont l'argument 0 se trouve entre les limites d et (i -\- dB, pour

toutes les positions du point P entre ABqï une corde parallèle à cette droite, dans la distance dp^ est exprimée par

~(?dpde

et comme J* est la mesure de la quantité de toutes les lignes do jonction PQ, ainsi échoit à une droite P(>, de la condition proscrite, la probabilité

1) 3^-, C' dp de.

Puis, si 2 signifie la superficie du segment se trouvant d'un côté de la droite,

est la probabilité pour que les deux points J?, S à prendre ensuite arbitrairement tombent dans ce segment.

Si Ton intègre le produit de 1) et de 2) pour toutes les positions de la corde A B, entre les tangentes E F, CD (donc avec S constant), on obtient la probabilité pour que les points 7?, S, lors de cette direction de PQ, se trouvent tous deux au-dessus de PC, à laquelle probabilité, la probabilité pour que tous deux gisent au-dessous de PQ, manifestement, est égale. Par conséquent, pour rapporter tous les cas, on a à prendi'e pour ^ constamment le segment situé du même côté àe AB et à doubler l'expression gagnée.

La probabilité requise est donc

l'intégration étendue à toutes les positions de la corde et —

pris pendant l'intégration toujours du même côté de la corde (').

Comme application, prenons le cercle. Lorsque r désigne

(*) Si l'autre segment découpé par la corde AH est désigné par S\ Il se laisse représenter aussi sous la forme suivante :

le rayon et 2a l'angle sous lequel la corde AB = C est vue

du contre, on a

C = 2 r sin a,

2 '^ r* {a — sin a cas a), tlp = r sin a da^ n n C Cn ^2 dp du -= Sr^ffia — sin a cas a)* sin* u du dB n u

7ÏÏ

=^ Sn r" / (a* — 2« si)i u ros a -\- sin^ a ros* a) sin* u du. o l*ar intégration par parties, on trouve facilement

a* 8in* u du = —n^ — TT^'

/ '2u sin'' u ('(is u (ht

onlm "

/ N///' rf ins-udK =^ 2 / .s///*'' « '/" — 2 / XlV « //a = 77^^'^\

pour le cercle, est donc 4) i i 'c' -^ dp de = 7r« r« /tt^ -V

Si l'on introduit cette valeur dans la fbnnulc :i), collo-ci (loiino

Pour la prohahilité pour que les points R, S se trouvent de côté et iraiitre de la droite PQ, s'obtient, par des considérations analogues, la valeur

La somme de ces probabilités est

cela est, en considération de l'équation 2) du n° 119,

n 4- ir = 1,

Par là, la probabilité pour que les deux points pris en dernier lieu tombent aux côtés différents de la droite qui joint les deux points pris en premier lieu est égale à

c'est-à-dire que réduits, // = 0,61741, H' = 0,38259.

126. Problème XLIV. — A Vintérienr d'une courbe fermée, convexe, de superpcie J, trois points sont pris à volonté. Quelle est la p>rohahilité pour qu'un quatrième point choisi arbitrairement dans la surface tombe à V extérieur du triangle déterminé par les trois premiers points?

Solution. — Soient les trois premiers points P, Q^R (fig. 77). Fig- 77. Par igg cordes les joignant, la surface de la

courbe est divisée en sept parties. Si l'on désigne par p«, pui..., piit... les probabilités pour que le quatrième point, S, vienne à se trouver dans les parties respectives, la probabilité exigée est

1) n = peu + i?«2 + p«5 + p?i + Ph + Vh-

Mais on se convainc facilement que 2) P«i = P«2 = P«5 = P<h = p?, = /?/j, = vh '

car, pendant que p«5 désigne la probabilité pour que le triangle P(>aS enclose le point li^ pu est la probabilité pour que le triangle PQB recueille le point S\ par conséquent, manifestement,

pu^ ===pu ...

Puis, ppi peut être envisagé comme la probabilité pour que le sommet du triangle PQSwxàe PQ %q trouve à gauche du sommet du triangle PQB; ppi, comme la probabilité pour que le sommet du triangle PQS vu de PQ soit disposé à droite du sommet du triangle PQIi; par conséquent, réellement,

A la considération de 2), l'expression 1) peut donc s'écrire

Mais, d'un autre côté,

p(t + i>«5 + M + Ph =" 2 (/>«, + p^,)

de.

est la probabilité pour quo les points R et .Sf se trouvent du même cot«' «1«^ f*(^\ par suite, suivant l'équation ;i) du n" 125,

Par comparaison de 3) avec 4), on obtient enfin

5) n-y,ffc2'dp

dans laquelle expression, les mêmes remarques sur l'intégration sont valables que celles sur l'intégration dans l'équation 3) du n° 125.

La probabilité pour que le quatrième point S tombe dans lo triangle PQR des trois premiers points, par cela, est

Appliquée au cercle, on obtient, avec la valeur trouvée de l'intégrale double par l'équation 4) du n<* 125,

487r« 48 TT'^

127. Problème XLV. — A V intérieur d'une courbe fermée, convexe, fjuatre points sont pris (irhitrairement. Trouver la probabilité 2)our quils forment un quadrilatère convexe.

Solution — Les quatre points forment-ils un quadrilatère non convexe, c'est-à-dire un quadrilatère avec un angle rentrant? L'un des points, indifféremment lequel, doit tomber dans le triangle déterminé par les trois autres; si la probabilité relative à ce cas, cependant pour un point spécifié des quatre points, est désignée par 77 ', la probabilité totale pour que les quatre points déterminent un quadrilatère non convexe est

ou lorsque la valeur trouvée pour W au n^ 126, équations 5) et 6), est introduite, est

1) ç^i(i-^ C l'cs'dpdey

par cela, la probabilité d'un quadrilatère convexe est

2) p=i-ç=-i. r fc^ S* dp de -S.