Droite dans l'espace
128. Comme pour les droites dans le plan, pour les droites dans l'espace, trois cas de l'arbitraire peuvent être différenciés.
1. Un point est donné; par celui-ci, une droite doit être menée. La direction de la droite est indéterminée, donc peut être prise arbitrairement.
Toute totalité de telles droites peut être ramenée à une totalité de points, en coupant les droites par une surface sphérique qui a pour centre le point donné : la première totalité peut donc être mesurée par la seconde. Il en résulte immédiatement les propositions :
Dans l'espace, la quantité de toutes les droites qui peuvent être menées par un point donné a pour mesure 2n.
Dans l'espace, la quantité de tous les rayons qu'on peut faire jaillir d'un point donné est mesurée par in.
Une partie d'une de ces totalités est délimitée en généml, par une surface conique et est mesurée par la superficie de la figure que découpe cette surface conique dans la surface sphérique; le rayon de celle-ci sert d'unité.
2. Une direction est donnée ; une droite de cette direction doit être menée. La position de cette droite est indéterminée, peut donc être prise à volonté.
Chaque t-otalité de telles droites peut être ramenée à une totalité de points, laquelle on obtient en coupant les droites par un plan normal à leur direction : les deux totalités se laissent exprimer par la même mesure. La proposition^ suivante en résulte :
Dans l'espace, la (juantité de toutes les droites qui peuvent être menées dans une direction dominée, dans des limites données, est mesurée par la superficie de la section normale de la surface cylindrique les renfermant.
3. Une droite est à mener dans l'espace. Direction et POSITION sont indéterminées; l'une et l'autre sont à prendre arbitrairement.
On a à se représenter la totalité de telles droites absolument arbitraires comme un système géométrique de droites, qui se compose de faisceaux de la seconde espèce parallèles, suivant l'ordre, à toutes les droites d'un faisceau de la première espèce.
La proposition suivante s'occupe du mesurage d'une telle totalité.
129. Théorème I. — La quantité de toutes les droites arbitraires qui coupent une surface fermée, convexe est mesurée par Vaire de celle-ci.
Démonstration. — Nous nous représentons un des faisceaux de droites parallèles, desquels se compose la totalité en question; soit sa direction désignée par la droite AU (fig. 78). Ce faisceau est limité par la surface cylindrique parallèle à ^A/enve- ^ loppant la surface et mesuré par la supei'ficie ii de la section noimale de cette surface cylindrique.
Pour coordonnées angulaires de la direction A M, nous choisissons l'angle ZAM= S et l'angle d'inclinaison du plan ZAM sur le plan ZAX, c'est l'angle XAE = <f. La quantité des directions dont les coordonnées angulaires se trouvent entre les limites B ^t 6 -\- clB^ d'un côté, et y et y -f c? y, de l'autre côté, est mesurée par la superficie du quadrilatère F GHJ sur la surface sphérique décrite de A comme centre avec l'unité de longueur comme rayon, quadrilatère qui est délimité par les méridiennes correspondant àyetày -\- d(f et par les cercles parallèles correspondant à d et à ô -f- ^^^; si nous désignons cette superficie par JT, la superficie de la projection du quadrilatère sur le plan XA Y par Jr'» nous avons
et comme ^ "
y = sin 6 d(f d (sin 6} = sin 6 cosB dS d(f^ il s'ensuit que J ^ sinB dB d^.
La quantité des droites de tous les faisceaux parallèles, dont les directions tombent dans le champ élémentaire désigné, conséquemment, est exprimée par
iij = nsinBdBd(p,
et la quantité de toutes les droites qui coupent la surface donnée par
1) / f nsinBdBd(p = ^ 0,
/ [sisinB
puisque toutes les directions sont épuisées lorsqu'on fait varier d et y entre les limites 0 et tt. 0 signifie l'aire. Avec
suppression du facteur constant -^-, la quantité développée
peut donc se poser ainsi :
Remarque. — La proposition exprimée par l'équation 1) est un cas spécial de la proposition générale sur la complanation des surfaces; Cauchy, dans le XIII® tome des Comptes
rendus (•), a coinmuniquc sans démonstration cette proposition générale; adaptée aux désignations faites par nous, elle s'énonce : * S désigne l'angle que forme une droite quel- , conque A M avec un axe fixe AZ; ç), l'angle que le „ plan ZAM enserre avec un plan fixe ZAX; O, une somme » de plusieurs surfaces planes ou courbes; P, la somme des , valeurs absolues des projections des éléments individuels ». , de 0 sur un plan perpendiculaire à ^ ilf ; on a
;( il
P sine de d^.
Pour obtenir la démonstration, il suffit de considérer une surface plane de délimitation quelconque et de la supposer normale à ^Z. Si 0 désigne sa superficie, est
a) P=Ocose,
par conséquent
fi) ffPsinede d<f =ffO sine cose de d(p; l'intégration doit être effectuée par rapport à e entre les limites — tt et tt, par rapport à (p entre 0 et y, cependant pour les valeurs absolues de P, et à cause de a), pour les valeurs absolues de cos e. Maintenant, cos e atteint quatre fois, entre les limites d'intégration relatives à e, chaque valeur numérique et toutes les diverses valeurs entre 0 et 1, lorsque
e parcourt les valeurs de 0 à -^; on a à intégrer donc à droite
par rapport à e entre ces limites et à quadrupler le résultat; de manière que, sous les conditions établies,
r fPsinede2(p = ioC Csinecosededg^=4:7TO fsined{si?ie) = 2nO,
-no 0 0 0
d'où 7r 71
0 = -^— f fpsineded<f.
\}) Comp. à la remarque du n* 7V«
L'extension de la proposition à une surface courbe, ouverte ou fermée ne présente aucune difficulté.
Un cas spécial se réalise lorsque la surface est convexe et fermée. La somme des valeurs absolues des projections do tous les éléments de la surface sur le plan normal à J M est alors égale à la double aire 2 Si de la section normale do la surface cylindrique projetante ; par conséquent on a
- / fnsinededtf,
ou, comme dans le tournement de A M tracé par les limites d'intégration pour 0, la projection S2 atteint chacune de ses valeurs deux fois et toutes les diverses valeurs dans les limites 0 et tt,
— / I SàsinSdedif,
--ff
0 n par quoi, la proposition portée à l'application plus haut dans l'équation 1) est démontrée.
130. Problème I. — Déterminer la prohabilité pour qu'à un cône droit donné, parallèlement à une direction prise arhir trairement, des [dans tangents puissent être menés.
Solution. — On mène par le sommet du cône, dont les génératrices, avec Taxe du cône, enserrent l'angle a, une parallèle à la direction prise; il n'y a pas de plan tangent lorsque cette parallèle se trouve à l'intérieur du cône; la probabilité de ce fait est égale au quotient de la surface du segment sphérique que découpe la surface conique dans une surface sphérique décrite de son sommet, par la demi surface sphérique; donc est
4 71 sin* -^
la probabilité cherchée est par conséquent 2 y> = 1 2 sin* ~
181. Problème II. — Par un point donnée une droite est menf'f nr^tifraireinvnt; trourcr ht in'ot)(thilité pour ((Uflle enserre, arec un u.rr fixe, passant par te point donné, un attgte entre les limites a et a -\- d ce.
Solution. Le q calculé dans le problème précédent exprime lii probabilité pour que la droite menée par le sommet du cône, avec Taxe du cône, fasse un angle plus petit que a; par conséquent, la probabilité requise est
dff == 4 sin -?c cos -7^ a -xr = sm n d n.
132. Problème III. — Sur la demi-sphère septentrionale, deux points sont désignés arbitrairement; découvrir la probabilité pour que leur distance dépasse 90" du plus grand cercle.
Solution. — Que l'un des deux points, P. ait la distance polaire a; la probabilité relative à ce fait, d'après le n<* 131, est égale à w = sin a da. On mène de P comme pôle le plus grand cercle de la sphère, celui-ci découpe de la demi-sphère septentrionale un fuseau de l'angle a et seulement lorsque le second point Q tombe dans ce fuseau, il est correspondu aux conditions de la question; la probabilité d'une telle position
de Q est —
Par conséquent, la probabilité totale, composée de l'événement susdit est
— ï a sm a d a =' — ni n
133. Problème IV. — A l'intérieur d'une sphère donnée, un [mut est pris arbitrairement et de celui-ci un trait de longueur domiée est mené dans une direction arbitraire. Trouver la probabilité pour que le trait coupe la surface sphérique.
Solution. — Soit 0 (lig. 79, p. 172) le centre de la sphère donnée, r son rayon, a la longueur donnée. Supposé que le point désigné à volonté tombe à l'éloignement a?, mesuré
de 0, par exemple en F; la probabilité relative à ce fait est
—7 X— = -T a;* dx. Pour obtenir le domaine des traits favo-
râbles, on décrit de P comme centre avec le rayon a une surface spbérique, qui coupe la surface sphérique donnée le long de la circonférence de cercle ADB; la surface du segment A CB donne une mesure pour les cas favorables. Or,
segm. ACB=-2na. DC;
FIjc 79.
DC
PD
du J OPA, résulte r* 2x . PD, d'où PD =x {a + xY -
+ a^ + -et
; de sorte que la probabilité
d'un trait favorable de P égale le quotient
(a 4- xY — r^ 2Tt a~ ^
(g 4- xY — r\ iax
Par là, s'obtient ensuite la probabilité de l'événement en question, savoir
/3 ., (a-^xY-r^ 3 r,, , ^, „ ^ 3 a 1 / « \'
j r^ iax iar^ j ^^ ' * 4r 16 \r/
Implicitement, dans cette déduction, est supposé a < r; pour le cas a > r, le calcul éprouve un petit changement, mais le résultat demeure le même.
Pour a =^ r, on obtient p = -^ et pour a = 2 r .../>== 1,
comme ce doit être (').
134. Problème V. — Trouver la probabilité pour qu'une sécante menée arbitrairement d'une surface sphérique donnée
[*) Comp. à la question analogue dans le plan (no 76).
sait à une distance plus petite qu'une longueur donnh a du centre de cette surface sphérique.
Solution. — La condition de la question est remplie lorsque la droite coupe simultanément une seconde surface sphérique, décrite du centre de la première avec le rayon a ; la probabilité requise est donc
47ra*
47rr'
135. Problème VI. — A rintérieur d'une sphhe du rayon r, un point est pris arbitrairement; trouver la pi'oba bit ité pour que Véloignement d'une droite menée à volonté, qui coupe la surface sphérique^ du ^mnt marqué, soit plus petit que r.
Solution. — 0 (fig. 80) est le centre de la sphère donnée
FlR. XO.
et le point pris arbitrairement tombe en P; il est correspondu aux conditions de la question lorsque la droite menée à volonté coupe aussi hors de la surface sphérique donnée une suiface sphérique décrite du point P comme centre avec le rayon r.
On pose OP = a*; la probabilité de la position supposée de P est égale à
