TT
Après introduction des valeurs de 7), de 8), de 9) dans l'équation Gj, on obtient enfin
10) ]f^na' I ll-^-,hi']j:Ux^K7ra^ / ( 1 -.^-V^^'l'/^-= r^a^
c'ost-à-dire deux cinquièmes de la surface du cercle donné.
191. Problème XXXVII. — Datîs un polygom donné, un srmur/ polygone de même nombre de côtés est inscrit de manière <jiir h s sommets du dernier sont pris arbitrairement, séparément sur les côtés du premier; calculer la surface moyenne du polygone inscrit.
Solution. — Soit ABC DE (fig. 97) le polygone donné, PÇRSTle polygone inscrit. On regarde seulement le point P ( >iimn' pris à volonté, les quatre Fig. »7.
autres comme tixés. Ainsi, du polyg(»nc' I*QBS T, il n'y a que le triangle yC^
TQP variable, et comme celui-ci $7^!^\>\
atteint sa surface moyenne, lorsque P r//7 / ...u^i*
tombe au point milieu F (centre de ^■sjL' / ^<^^^ gravité, v. n^ 149, théorème I) de a^^S<£^^^^/ Ali FQRST représente la surface rf ^
moyenne de PQIiST, tant que P seul est puis a volonté.
Si l'on considère dans FQ RS1\ Q seulement comme arbitraire, la triangle FR Q est seul variable et atteint sa surface moyenne lorsque Q tombe au point milieu G àQ BC\ par conséquent, FGRST est la surface moyenne de PQRST, LORSQUE P ET Ç SEULS SONT PRIS A VOLONTE, et aiusi de suitc.
Par continuation de ce raisonnement, on parvient au résultat suivant: la surface moyenne du polygone P Ç/^ 6' T, lorsque tous les sommets de celui-ci sont pris arbitrairement dans les côtés correspondants, est égale à la superficie du polygone FGHJK, dont les sommets se trouvent aux points milieux deAB^deBC...,
D'après cela, pour le triangle, est M =-]-«/; pour tout
quadrilatère, M = — J; pour un polygone régulier de n côtés,
M = cos* — J; lorsque J désigne, dans tous les cas cités, la surface du polygone donné.
FIg. 98.
192. Problème XXXVIII. — Trouver la surface moyenne d'tm hexagone, dont les sommets sont pris arbitrairement deux sur chaque côté sur les côtés d'un triangle donné.
Solution. — Les points P, Q (fig. 98) seuls sont regardés comme pris à volonté, les quatre autres sont fixés; le quadrilatère R U PQ seul est variable et sa surface atteint sa valeur moyenne lorsque les points P, Q divisent le côté BC en ^ ^ trois parties égales : car, pour toute posi-
tion de Q, le triangle BU F prend sa surface moyenne lorsque P tombe au milieu de B Q, et pour toute position de P, le triangle BPQ atteint sa surface moyenne lorsque Q tombe au milieu de PC; donc la valeur moyenne des deux triangles ensemble, ou du quadrilatère formé par eux survient lorsque P, Q divisent le côté BC en trois parties égales.
Par continuation de cette considération, on est conduit au résultat : la surface moyenne de PQRSTU est présentée par l'hexagone dont les sommets divisent chacun des côtés du triangle donné en trois parties égales. Par conséquent est
~^JABC,
193. Problème XXXIX. — Sur la circonférence d* un cercle donné, trois points sont pris arbitrairement; trouver la surface moyenne du triangle qui joint ces points. Solution. — L'un des trois points P, Q, P, par exemple P, (fig. 99) peut demeurer fixé; nous considérons le second point Q provisoirement aussi comme invariable et posons OA=r^ l'angle APQ = fp.Lo, surface moyenne de tous les triangles PÇR dont le troisième sommet R est pris sur l'arc PÇR est égale à la surface du triangle PÇS dont le sommet S coïncide avec le centre de gravité de l'arc PP Ç, et la somme de ces triangles est
I,^JPQS.arePRQ=PM,MS.arcPRQ,
ou, comme
r.PQ
et
^'"^^arcPRQ MS= OS—rsing>,
1) J?, .= r^ cas (p (2 cos (p — {n — 2 y) sin y).
La somme des triangles PQR dont le troisième sommet R tombe sur l'arc PR'Q s'obtient par suite en remplaçant y par — y, et s'énonce par conséquent
2) 2^ = r^ cos (p {2 cos (p -\- {71 — 2 (p) shi y),
de manière que la somme de tous les triangles PQR^ avec Q demeurant fixe, égale
3) j^ = 4 ;•» cos (p {cos (p -\- (p sin (p). Par cela, on obtient la valeur moyenne exigée
f2rd{2(p)
4) iV=
cos (p {cos fp -\- <f sin ff)d(p=^r- r
£tTC
194. Problème XL. — Sur la circanférence et un cercle donné, quatre points sont pris arbitrairement et refiés en utt quadrilatère convexe; trouver la surface moyenne de ce quadrilatère.
Solution. — Par des considérations analogues à celles employées dans la solution de la question Fig. loo.
précédente, on trouve, pour la somme des quadrilatères PR Q T, en fixant Q (fig. 100), l'expression
2=^ PSQS' , arc PRQ. arc PTQ, dans laquelle 5, S' sont les centres de gravité des arcs PRQ, PTQ.
Par calcul plus étendu, se donne
2=^PM.SS' .arcPRQ.arcPTQ -rcos<p(^^-^£:^)arcPRQ.^^^^^^^^
et par là la valeur moyenne requise, en tenant compte de la circonstance que les points 7?, Q, T peuvent être permutés de six manières,
6f2rdi2(f)
Sn^r^
— - j COS^ g) d(f =
elle est deux fois aussi grande que la valeur moyenne du
triangle du n'^ 193.
