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et cnMiinc ^j. est COU vtaiii. >t' (loiiMe, après rexécution do la
tlillVi . iitiation du prciiiin' mciiibre,
Si 1*011 remplace M' par la valeur trouvée au n** 201, équation
3), on obtient tinalenient
Remarque. — La question, déterminer la probabilité pour que quatre points P, Ç, R, S désignés arbitrairement dans la surface d'un triangle donné déterminent un quadrilatère convexe, trouve dans la résolution de problème ci-dessus sa solution la plus simple.
On désigne par J la surface du triangle donné, par V la surface du triangle déterminé par trois points quelconques des quatres points, par exemple par P, Q, B; la probabilité pour que le quatrième point ^ tombe dans le triangle PQK ou pour que les quatre points déterminent un quadrilatère avec angle rentrant, conformément à la proposition du n« 175, est
c'est, avec l'aide de la valeur trouvée plus haut pour M{V)j
par la. se donne la probabilité demandée
2i>.'>. Problème XLIX. — Dam l'aire d'une courbe plane, vonrexe^ fermée, trois points sont pris arbitrairement et reliés en un triangle; calculer l'aire moyenne de celui-ci.
Solution. — L'aire du tnangle FQli est désignée par K, sa valeur moyenne par M ( V) et un quatrième point S est pris à volonté dans l'aire de la courbe; ce point tombe, en vertu de la proposition du n" 175, avec la probabilité
dans le triangle PQK lorsque J désigne l'aire de la courbe. Pour la même probabilité, l'expression
2) 77 = 1 -L r fc'^ V2 ,i^j ae
'"If-'^
a été trouvée au n" 126, équation (>); dans cette expression, C indique la longueur de la corde (de la courbe) dont la position est déterminée par les coordonnées polaires y^, ^; -2, le segment de la surface, d'un côté de cette corde; l'intégration est à étendre à toutes les cordes et de plus 2 est à prendre toujours du même côté de la corde.
Par l'égalité de 1) et de 2), s'obtient la valeur moyenne requise
3) M{V)=^J- -^3 f Ce 2-' dp de.
Pour un cercle de rayon r, par exemple, l'intégrale double |v. n« 125, équation 4)| a la valeur
volonté dans l'aire de ce cercle égale donc
la surface moyenne du triangle formé par trois points pris à
s égal
206. Problème L. — Sur un cercle fixe, donné, un second cercle est jeté arhitrairemetU ; trouver Vaire moyenne de la surface du premier cercle, couverte par le second.
Solution. — Soit 0 (fig. 113) le centre, R le rayon du cercle fixe, Q le centre, r le rayon du cercle jeté, VIsl surface commune aux deux cercles. Une surface commune se présente seulement lorsque Q vient à se trouver dans l'intérieur d'un cercle décrit de 0 comme centre avec le rayon i? + r, et ces seules positions de Q doivent être prises en considération.
Dans la surface du cercle fixe, un point est pris à volonté ; < <.iir«tt?nénient k la proposition du u" 175,
est la probabiliti^ pour que ce point tombe dans la surface commune aux deux cercles.
Cet événement peut être interprété aussi comme suit : Qy après que P a été pris, vient k se trouver k une distance de Py plus petite que r, et avec cette inteiprétation, la probabilité s'exprime
OA ^r^ / r y
-^ f'-^n{R + rr \R 4- r) *
De l'égalité de 1) et de 2), résulte la valeur moyenne exigée
^(n = -«^G-Vr)-
Lorsque les cercles sont également grands, un quart du cercle fixe est moyennement couvert par le cercle mobile. (')
207. Problème LI. — Un disque, dotU le périmètre est formé par une courbe convexe, a été jeté sur un plan dans lequel, par deux droites parallèles, une bande est délimitée. La surface moyetme de la partie couverte de la bande par le disque est à trouver, supposé que ne soient comptés que les cas oii le disque rencontre réellement la bande tracée.
Solution. — Soit Jla surface du disque, s la longueur de son périmètre (L), a la largeur de la bande parallèle dans le plan. Via surface couverte par le disque. La probabilité pour qu'un point P(fig. 114, p. 244) désigné arbitrairement sur le disque vienne se placer aussi sur la bande est
Cet événement peut aussi être énoncé ainsi : la bande parallèle jetée sur le disque fixe s'approprie le point P. Pour trouver 1» xpiession correspondant k cette interprétation,
(») Y comp. le n» 176.
de la probabilité, on considère qu'un cas favorable arrive
lorsque la ligne moyenne EF de la bande coupe un cercle
Fig. 1 14. décrit de P comme centre avec le rayon
a, pendant que sont à compter comme
^ possibles les cas où EF coupe une
courbe L' parallèle à L à la distance .^ a
de L. Comme la longueur de la courbe L' égale s -{- Tva (^), en vertu du n° 81, est
na
Par l'égalité des expressions 1) et 2), on obtient la valeur moyenne exigée
Tta
s + Tta
Le disque est circulaire et r est son rayon, on a
3/(F) = spécialement pour a == 2 r,
Ttr^^
M{V)=-^7Tr\
(«) Si GH = ds (fig. 115) est un él«Sment de la courbe L, les normales
Fig. 115.
par conséquent,
