KT (1H

et par conséquent (4.6) (resp. (4.7)) équivaut à

(4.11) (+4K)u=(1+iH)!Jf (resp. à (4.12) (IE TRSIURENT),

Comme J, est complètement continu, il en est de même de X, donc les théorèmes

de F. Riesz sont applicables aux équations (4.11) et (4.12). Donc :

a) La condition nécessaire et suffisante pour que (4.11) ou (4.12) admette une solution unique est que l'équation sans second membre n’admette que la solution nulle; il en est ainsi sauf pour un ensemble dénombrable de valeurs de À : le spectre

du problème, i.e. le spectre de X.

b) Soit À un élément du spectre; soit %,,...,"u, une base de l’espace des solu-

tions de l’équation homogène correspondant à (4.11); de même U;,..., U, pour (4.12).

3 J'ITCTIONS

La condition nécessaire et suffisante pour que (4.11) ait une solution est que :

(A+iH) 1Jf, U)h =0 pour. i=1, 57, soit :

(WE U=iH) 0) 0:

Mais si l'on pose : =(1-—iH) U;, {u;} constitue une base de l’espace des solutions de Pÿ(4), et finalement la condition nécessaire et suffisante devient : ((J f, u;)), = 0, soit <f, u>=0 pour tout ?, c'est (43).

La condition nécessaire et suffisante pour que (4.12) admette une solution est : ((Jf', w)), =0 pour tout à, done : «f', &)—0, pour tout i, c'est (4.4).