Systèmes complets de fonctions propres

On fait encore les hypothèses (C 1) et (C 2), p. 29, et en outre on suppose que

la forme ((u, v)) est hermitienne : ((u, v)) = ((v, w)) pour tout , vE V. On la suppose aussi elliptique (déf. 2.1, p. 25).

On cherche les fonctions propres et valeurs propres de l'opérateur À relativement

à la forme ((w, v)), i.e. les solutions dans N de (5.1) Au=}u, pour des À convenables (valeurs propres).

Soit J l'opérateur défini p. 26, et comme au N° précédent, J, la restriction de J à £(V; V). Alors (5.1) équivaut à

(5.2) u=AJiu.

Or grâce à (C 2), J, est complètement continu, et c’est un opérateur hermitien positif; il a un ensemble dénombrable de valeurs propres, et les fonctions propres correspondantes forment un système complet dans V.

Soit :

(1 er PT PR PC la suite croissante des valeurs propres, chaque valeurs propre étant comptée autant de fois que son ordre de multiplicité; soit «x les fonctions propres correspondantes, complètement déterminées si on leur impose la condition de former un système ortho-

normal dans L?(Q); on a :

(5.3) ((Ux, Ux)) —)} (ux, Ux) re.

On a le THÉORÈME 5.1. Sous les hypothèses (C 1) et (C 2) du NO 4, la forme ((u, v))

étant hermitienne et elliptique, le système ux (resp. le système ux/ VAx) est orthonormal

complet dans L? (resp. dans V pour le produit scalaire ((u, v))).

DÉMONSTRATION

Le système "z est complet dans V; par (5.3), le système ux/ VAx est orthonormal. Enfin comme V est dense dans Z? (puisque V contient D) le système uw; est complet dans Z? d’où le résultat.

Donnons la variante suivante du résultat précédent :

PROPOSITION 5.1. Mêmes hypothèses qu'au Théorème 5.1, et en outre Q = L?(—Q). | Uk ; Alors le système pe est orthonormal complet dans N, espace de Hilbert pour le Ar + Ar produit scalaire :

(u, v}n=((u, v))+ (Au, Av).

DÉMONSTRATION

Soit J, la restriction de J à C(N; N). L'opérateur J, est complètement continu (il suffit même pour cela que l'injection de N dans L? soit complètement continue). Par ailleurs :

(ou, u)y=((Jiu, u))+(u, A u)2= full +((u, 2)

done J, est un opérateur hermitien positif dans N, espace de Hilbert pour la struc-

ture (uw, v)y. L'opérateur J, possède un système complet de fonctions propres, système

u 7 est orthonormal; or :

qui n’est autre que w,; reste à montrer que Y x + À

(ur, Ux)n = ((ux, Ux)) + Àk [lux |£ = À + Ài

d’où le résultat (1).