Application de la théorie de F. Riesz

On suppose dans ce N° que les hypothèses suivantes ont lieu : (C1) QcLcQ (C 2) L’injection de V dans Q’ est complètement continue.

On donne la forme ((w,v)) sur V XV et l’on définit la forme sesqui-linéaire

adjointe, ((u, v))*, par :

(Qu, v))" = ((u, v))1 — à ((u, v))2.

Cette forme définit un opérateur A, adjoint de À, par :

Au, @> = ((u, g))* pour tout pE D.

On considère alors l’espace N* défini à partir de ((w, v))* comme N l’est à partir de ((u, v)): uEN* si uE V, A*uEQ' et vérifie :

ÇA u, 8> = ((u, v))}* pour tout vE .

Notons que la forme ((w, v))* est elliptique en même temps que ((u, v)). On pose

alors les problèmes suivants :

PROBLÈME P(À) (resp. P, (À)).

Trouver «€ N, solution de (4.1) Au+au=f (resp. f—=0),

où f est donné dans Q', et À un nombre complexe donné.

PROBLÈME P*(À) (resp. Ps (À)).

Trouver w E N* solution de (4.2) A*u+Âu=f (resp. f =0),

où f’ est donné dans Q’, À = complexe conjugué de À.

On a alors le

THÉORÈME 4.1. On suppose que (C 1) et (C 2) ont lieu et que la forme ((u, v)) est elliptique. Alors :

a) La condition nécessaire et suffisante pour que le problème P (À) (resp. P* (À)) admette une solution unique, est que le problème P, (À) (resp. P6 (À)) admette seulement la solution nulle. Il en est ainsi sauf pour un ensemble dénombrable de valeurs de À (le spectre du problème).

b) Si À est dans le spectre, le problème P, (2) admet un nombre fini v (dépendant de À) de solutions linéairement indépendantes dans V, soit u,, ..., u,. Le problème Pi en admet le même nombre; soit ui, ..…,u, ces solutions. La condition nécessaire et suffr-

sante pour que le problème P (1) (resp. P*(Â)) admette une solution est que l’on ait :

(4.3) {f, WD=0 pour i=1,.….,v (resp.

(4.4) {f,wD2=0 pour i=1,...,v).

DÉMONSTRATION

On utilise les opérateurs J et ÆH introduits p. 26. On désigne par J, la restriction de J à l’espace; J, est composé de l'injection de V dans Q' et de JEL(Q"; V). Comme l'injection est complètement continue par hypothèse, J, est complètement con-

tinu. En outre, ((J, u, u))}, =Cu, à) —|lu

Fa >0, donc J, est un opérateur hermitien positif pour la structure ((uw, v)),.

PROBLÈMES AUX LIMITES EN THÉORIE DES DISTRIBUTIONS 31 Si « est solution de (4.1), alors pour v quelconque dans V on a : (4.5) ((u, v)) +A Cu, 5» =<f, 5».

Réciproquement si « est dans V, et vérifie (4,5) pour tout v dans V, alors w est solution de (4.1), donc est dans #4, puis on constate que w est dans N, donc (4.1)

équivaut à (4.5) et cette dernière égalité équivaut à :

(4.6) (+iH+1J)u=Jf.

De même (4.2) équivaut à :

(4.7) (—-iH+ÂJ,)u =Jf!.

On transforme (4.7) comme suit : on pose :

(4.8) (1—iH)u'=U,

qui équivaut à

Alors (4.7) équivaut à (4.8) et

(4.10) U'+1J,(1—-iH) 'U'=J}f.

Si l’on pose : K—(1+2H) ‘J,;, son adjoint K* est donné par :