Propriétés de regularité des noyaux de Green
On revient aux hypothèses générales du N° 2, sans hypothèse de complète continuité. On a défini p. 27, l'opérateur de Green GEL(Q'; N) de la forme ((u, v)), supposée elliptique. Cet opérateur G définit en particulier une application linéaire continue de D dans D’; cette application est définie par un noyau distribution G, , ®
(cf. Schwartz [5]) élément de l’espace Da,+0, des distributions sur Q,x(Q,.
(1) Si D est dense dans Y, alors Q = V, Q’=V’ (et (C 1) s'écrit : VEL?€ V'); À est un isomorphisme de V sur V’ d’inverse J; si uw’, v’ sont dans V’, on pose : (w’, v’)y = ((Ju’, J'v’)), ce qui définit sur V’ un produit scalaire hilbertien. Alors Vax ux est un système orthonormal complet dans V’ (pour la structure (w’, v’)y). En effet il est complet, car V est dense dans PV”, et
Va etre aus) 1
(2) On note avec des indices en bas les distributions, des indices en haut les fonctions.
3— 553810. Acta Mathematica. 94. Imprimé le 26 octobre 1955.
Réciproquement si l’on connaît la restriction de G& à D, et si D est dense dans Q" (fort), alors G est complètement déterminé.
On pose la
DÉFINITION 6.1. Le noyau distribution G;,, correspondant à l'opérateur de Green G est dit : le noyau de Green de la forme ((u, v)) (ou de l’opérateur À pour la forme ((4, v)) ou encore de l’opérateur À sans plus lorsque D est dense dans V).
On veut étudier la régularité de G;,, (cf. Schwartz [5], pour la notion de régularité).
On introduit comme au N° 4 la forme adjointe ((, v)}* de ((u, v)), qui définit A* adjoint de A. On fait l'hypothèse (la forme ((, v)) étant elliptique) : (R 1) Toute solution dans N de Au=—}f, f donné dans Q'N € est dans NNE. (R* 1) Toute solution dans N* de A*u*=}f, f donné dans Q'NE est dans M*NE.
On donne ((w,v)) comme dans l'exemple 1.1 (p. 23). Alors : A=A*=—A+b (on suppose b>0). Alors (R 1)=(R* 1) a lieu, car toute solution distribution de — Au+bu=—f, est indéfiniment différentiable là où le 2°"%° membre l’est (cf. Schwartz [1] et [2])-
De façon générale : (R 1) et (R* 1) seront vérifiés lorsque À et A* seront des opérateurs différentiels elliptiques à coefficients indéfiniment différentiables, par application des théorèmes de Petrowsky [1], Friedrichs [1], John [1].
On désigne par G* l'opérateur de Green de la forme ((, v))*. L'opérateur G est donné par : G=(1+5H) 1J; alors : G“=(1-iH) 1J.
D'après la propriété (R 1), & opère linéairement de Q'NE€ dans NNE (et G* de Q'NE dans N*NE). Munissons tous les espaces intersection considérés de la topologie borne supérieure. Il faut voir si dans ces conditions, G opère continüment de QNE dans NNE. C’est vrai si le théorème du graphe fermé est applicable à ces espaces; en effet il suffit alors de montrer ceci : si fEQ' NE tend vers 0 dans QE, et Gf—X dans NNE, alors X =0 ce qui est évident, vu que f—0 dans Q, ce qui entraîne Gf—0 dans N, done X —0.
Pour pouvoir appliquer sans difficulté le théorème du graphe fermé on est con-
duit à l’hypothèse :
(R 2) L'espace Q est un espace de Banach.
Alors N est un espace de Banach, ainsi que Q’, ce qui fait que les espaces
NNE et Q'NE sont des espaces de Fréchet, donc le théorème du graphe fermé leur est applicable (cf. Bourbaki, [1], cor. 5, p. 37).
En résumé :
THÉORÈME 6.1. Sous les hypothèses (R 1) (resp. (R* 1)) et (R 2) la forme ((u, v)) étant elliptique, l'opérateur de Green G de ((u, v)) (resp. G* de ((u, v))*) est dans l'espace : L(Q'NE; NNE) (resp. L(Q'N E; N*°N E)).
En particulier :
(6.1) GeL(Q'nE:QNE) et (6.2) GhÉL(QNMÉ ONE)
On introduit maintenant (en vue d’une transposition de (6.1) et de (6.2)) l’espace dual de QNE, que l’on note Q'+E’, pour la raison suivante : toute distribution 4} de l’espace dual de QN € est de la forme : T-f+8, fEQ" et SEE"; cet espace est muni de la topologie forte de dual. On suppose maintenant que Q est réflexif (1e. le dual de Q' fort est Q); alors le dual de Q'N € est noté Q+E”; toute distribution
de ce dual est somme d’un élément de Q et d’un élément de €’. On aura besoin du LEMME 6.1. L'espace Q' est dense dans Q'+E.
DÉMONSTRATION
Il faut approcher un élément T de €’ par des éléments de Q'; or, par régularisation par exemple, T est limite dans €’ d'éléments de D, d’où le résultat.
Ceci posé, transposons (6.2); on définit tG*, élément de £L(Q'+E'; Q+E"), par : (6.3) Cas, P)=<s, af) où SEQ'+E', fEQ'NE, le premier crochet désigne la dualité entre Q+E et QUE,
le 27° entre Q'+E£E’ et QN E: ‘G* n’est pas un transposé au sens habituel à cause de la présence dans (6.3) des complexes conjugués.
On a maintenant le LEeMME 6.2. Pour tout f dans Q”, on a :
(6.4) tG* f=Gf.
DÉMONSTRATION
Soit f, quelconque dans D; il faut montrer que :
CE f h>=<G ff).
Or le 1° membre, par définition de ‘G*, vaut : (f, GS}. Si l’on pose : u=@f, u*=G" f;, u (resp. «*) est solution dans N (resp. dans N*) de : Au=f (resp. de A*u*=f,).
Il faut montrer que :
(6.5) Qu RD = 8) = hs 8).
Or
GA, 4")=((u, u*)), Gh, &)= (Qu, u))* = (Qu, u)}, +5 ((u*, u)), = ((u, w*))
d'où le résultat.
Donc G et ‘G* coincident sur Q’, et Q’ et dense dans Q'+E’ (Lemme 6.1) donc :
THÉORÈME 6.2. Sous les hypothèses (R 1), (R* 1), (R 2) l’espace Q étant en outre réflexif, l'opérateur de Green G de ((u,v)) se prolonge en un opérateur (encore noté G) élément de l’espace L(Q'+E'; Q+E').
Résultat analogue pour G*.0
Le noyau G;, est très régulier au sens de L. Schwartz; il peut s’écrire G, (y) où Œ(x)y; Gr, est une fonction indéfiniment différentiable de x, Y, pour x+y. On a : Gr (y) = G (dx (y)), où (y) désigne la distribution en x(€ Da,) masse 1 au point yeQ (donc : 8: (y)€Q'+E’). Le noyau distribution G,, est ce qu'on appelle ordinairement
la «fonction » de Green.
Il peut être utile de considérer des hypothèses moins restrictives que (R 1) ou (R* 1), à savoir : toute solution dans N de Au—f est m fois continûment différentiable si f est dans Q’ et m fois continûment différentiable (cf. les travaux cités de Friedrichs et John). Si m—0 (fonctions continues), on a : GEL(Q'+E'", Q+E'), où €’° désigne l’espace des mesures à support compact sur (), ce qui suffit pour
pouvoir former G(Ô, (y)).
