Stabilité des opérateurs de Green

On donne l’ouvert Q fixe et sur cet ouvert les espaces V, Q, Q’, fixes. On donne une suite de formes sesqui-linéaires, notées ((u, v))*, k entier >1, ko. On fait

l'hypothèse :

® Note ajoutée à la correction des épreuves : M. L. Schwartz a démontré (non publié) que lorsque À et À sont elliptiques indéfiniment différentiables, @ se prolonge en un élément de l’espace

SE, (Q° TEL NT+ E') (et non seulement L (Q'+E'; Q + en)

je v))*—((u, v)) lorsque £—c, uniformément pour « et v (S 1) | demeurant dans un borné de V; autrement dit:

Lu, ©) — ((u, v))|<exflullvflvllv, 8x0 si 400. On suppose ensuite :

(S 2) [ La forme ((u, v)) est elliptique, i.e. : (il existe a>0 tel que ((u, u)), =allulfy pour tout we V.

Notons le facile

LEMME 7.1. Sous les hypothèses (S 1) et (S 2), la forme ((u, v))* est elliptique

pour k assez grand.

DÉMONSTRATION

De façon plus précise, on va montrer ceci :

a { Pour tout a, >0, avec a; <a, il existe k(a;) tel que pour £>k(a;) on ait : d. |

((u, u)}f >a, Ia |f% pour tout uw € V.

En effet, par (S 1) il existe k,, dépendant de a, tel que pour £#>k, on ait :

| (Qu, w)}i— (us u))|£a—as ue P, fully <1 donc (Qu, w))iZ (Qu, w))i— (a — a) Îlufs d’où le résultat avec k(a,)=k,.

La forme ((u, v)}* définit un opérateur A° (par : (A®u, p)=((u, p))*, gED). Du lemme 7.1 résulte que A* est un isomorphisme de N° sur Q, N° étant l’espace construit à partir de A et ((u, v))* comme N l’est à partir de À et ((u,v)). Soit G l'opérateur de Green de la forme ((u, v))‘; G° est dans l’espace L(Q'; N *), donc en

particulier dans l’espace £(Q'; V). On a le THÉORÈME 7.1. Sous les hypothèses (S 1) et (S 2), GG dans l’espace Lo (F”; V).M

DÉMONSTRATION

Soit f donné dans Q’. On pose :

ut =Gf, u=Gf; u* (resp. u) est solution dans N° (resp. dans N) de : Arur=}

(resp. de Auf). Pour tout v dans V on a les relations :

® Voir note (1) p. 21.

donc ((u*—u, v))* ={((u, v))—((u, v))‘; si l’on fait dans cette relation : v—u"—", et

que l’on prend les parties réelles des deux membres, il vient :

(u*—u, u*—u))i=Re(((u, u*—u)) —((u, u°—u))*)®.

Le 1* membre est =a,[[u*—"{|} pour &>k(a;) (lemme 7.1) et par (S 1), le 2°

est majoré en module par : ex [u||v|lu"—"{|y, d’où : k Ek

(7.2) ut—uly< = lellv.

Le théorème résulte de (7.2) : si f demeure dans un ensemble borné de Q, alors uw demeure dans un ensemble borné de V, et (7.2) montre alors que w*—w dans V? uniformément lorsque f demeure dans un borné de Q’, d’où le théorème.

On a en outre obtenu, par (7.2), une évaluation de l'erreur qui peut être utile.