P= ZA

h EC (L; Q').

ExEMPLE 12.2.

On suppose que V—D(A). On prend alors P comme dans l'exemple 12.1, et

on peut lui ajouter un terme de la forme :

P=>'A k:, k EL (D (4); 4)

DéÉFiNiTion 12.2. L'opérateur de perturbation P est dit de partie hermitienne

positive dans V, si:

(12.2) <Pu, a) + Cu, Pu = 0 pour tout wE V.

On prend maintenant sur VxV la forme sesqui-linéaire : (12.3) ((u, v))= (uw, v)4,9 +(Byu, yv)r+<Pu, 5) W,

On a la

PROPOSITION 12.1. Si D est V-elliptique, M de partie hermitienne positive, si B+B"=0, et si P est de partie hermitienne positive, alors la forme ((u, v)) est elliptique.

La démonstration est immédiate. On peut remplacer dans cette proposition : B+B"=0 et P de partie hermitienne positive par le fait que ces opérateurs soient de norme assez petite (2),

Sous les hypothèses de la proposition 12.1, la théorie des N° 1 à 7, s'applique. L'opérateur défini par ((u, v)) est :

L'espace N est défini comme suit : c’est l’espace des 4€ V tels que Du€Q', et qui vérifient :

Du, DNS (di; A; u, Aiv)z: +(Byu, yv)r pour tout ve.

Ici encore, D + M + P est un isomorphisme de N sur Q'.