Cas des systèmes différentiels

Soit y un entier positif fixé quelconque. Si M est l’un quelconque des espaces vectoriels topologiques considérés jusqu'ici, on désigne par M* l’espace vectoriel topo-

logique produit M*-—Mx:..xM, y facteurs; tout mEM est de la forme Mm= (Ma... , My) = (Mi), mi EM.

Considérons maintenant les espaces D* et D'*. On donne Q, espace vectoriel topologique, avec :

(13.1) DÉSQeDr,

les injections de D* dans Q et Q dans D'* étant continues, l’espace D* étant en outre dense dans Q; tout g€Q est de la forme : 9=—(q, .… , q,), dE D'; alors g=(%); on

suppose que 4€Q. Le dual Q' de Q est un espace de vecteurs-distributions :

(13.2) DÉS OSDE,

® Si l’on ne peut définir d’opérateur frontière raisonnable, supprimer le 2°" terme. (2) Q’ qui est soit £E’ soit D (A) est toujours un espace de Hilbert, donc £ (7; Q’) est un espace de Banach.

les injections étant continues, D* étant faiblement dense dans Q’. On donne main-

tenant V, espace de Hilbert, avec :

(13.3) DÉSOCVSDE

D* étant dense ou non dans V, toutes les injections étant continues; tout w€ V est de la forme : à—(w), w € D'; alors &—(&); on suppose que &E€ V.

On donne maintenant une forme : %, d—>((#, )), sesqui-linéaire continue sur WV x V: on la décompose en partie hermitienne et anti-hermitienne :

(13.4) ((&, d)) = (à, d))1 + à ((%, D))ae La forme semi-linéaire : @—((%, æ)) sur D* est continue donc du type : (13.5) ((u, #)=<A à, g», AEL(V; D'?).

On dit que À est défini par la forme ((u, v)). ESPACE N.

C'est l’espace des 4€ V tels que A%E Q', et qui vérifient

(13.6) Au, d) = ((%, %)) pour tout vE W.

On dira, comme à la définition 2.1, p. 25, que la forme ((%, v)) est elliptique

s’il existe a 0 tel que, pour tout 4€ V, on ait : (13.7) ((&, à), = a ufr.

On démontre alors exactement comme au Théorème 2.1 le

THÉORÈME 13.1. Si la forme ((%, v)) est elliptique, l'opérateur À défini par cette forme, est un isomorphisme (topologique) de N sur Q'.

Désignons par l'espace des eV tels que A%E€Q', sans la condition (13.6). Supposons donné un espace vectoriel topologique X, tel que : D'cHcXceD'Y, et un prolongement de À à X, encore noté A, tel que AEL(X; Q'). Comme on a posé le problème 3.1 on pose le

PROBLÈME 13.1. Trouver L'ER solution de

(13.8) AU=F, F étant donné dans Q',

avec les conditions aux limites :

PROBLÈMES AUX LIMITES EN THÉORIE DES DISTRIBUTIONS 49 (13.9) U—hEeN

(problème inchangé si l’on remplace h par h+ élément quelconque de N). Sous les hypothèses du théorème 13.1, le problème 13.1 admet une solution unique. Les théorèmes des N° 4.5, 6.7, se généralisent aussitôt au cas actuel. EXEMPLE 13.1.

De façon générale, si A EL(E; F), E et F étant deux espaces vectoriels topologiques

quelconques, on définit un élément, encore noté À, de £(£7; F?), en posant, pour tout (CC) RS Ae-(4e,.. Ac)Cr?

On donne maintenant, comme au N° 8, un espace de Hilbert Æ, avec :

(13.10) D<EcT,

et on donne À, isomorphisme de Æ sur L?. Alors 4, est un isomorphisme de Æ7 sur (L?Y, et ‘4,€L((L?)'; (E')). On donne encore les opérateurs À:, avec (E 2) p. 38, donc :

(13.11) A,EL(ES D'?), EL(DE (L°ÿ9, i=1,..,v.

On donne maintenant les opérateurs (13.12) guys 90 EL ((L?Y5 (L°)), 1, 7=1,..., 7.

On considère l'opérateur D défini pour ge D* par :

(13.13) Dp= > ‘Ag; 4;@),

et l'opérateur M :

(13.14) M4 04e On pose enfin: A=D+M. On introduit les espaces (E (4)ÿ, (D (A)Ÿ, et V, sous-

espace vectoriel formé de € (4), avec : D'AYEMS<E (A);

Pour à, vEV, on pose :

(13.15) (, Dao > (is A5, Aid) + (90 Aod; A9 Ë zx + =