CHAPITRE II

Une fois en possession des notions du Chapitre I, on peut poser de façon rigoureuse le problème mixte au sens de M. Hadamard; c’est le problème mixte fin ($ 2, N0 1). Il y a lieu de modifier alors ce problème suivant la méthode de Schwartz pour le problème de Cauchy; on est ainsi conduit aux problèmes qui suivent. De façon générale on désigne D’, (t, X) l’espace des distributions en { à valeurs dans un espace de Banach X, de supports en # limités à gauche (le strict essentiel concernant ces espaces et notamment la généralisation du produit de composition en £ est rappelé dans le $ 1; pour plus de détails on se reportera à Schwartz [6], [7] et Grothendieck [1] et [2]).

16 JALIONS

On pose alors le problème suivant : on donne A défini par la forme ((w, v)), ce qui définit N; puis on donne K, élément de l’espace D.(t, L(N; Q')). Trouver « dans D, (t, N), solution de

Au+Kxu=T,

A 2 / où T est donnée dans D, (t, Q').

Pour résoudre ce problème on distingue deux cas. Dans le 1% cas on suppose que

K admet une transformée de Laplace en t. On donne au N° 2 du $ 2? une condition suffisante générale pour que l'opérateur A+ K* (K*=— opérateur de composition en £ par K) soit un isomorphisme de D: (t, N) sur D. (t, Q'). On montre que la solution de l'équation proposée est fournie par u— GXT, où G est dans D. (t, L(Q'; N)) et admet une transformée de Laplace en t. La distribution G est dite : distribution de Green de l’opérateur À + X*. On donne ensuite deux théorèmes d'application du théorème du N° 2, et on étudie la stabilité des distributions de Green. Ces théorèmes sont ensuite appliqués aux opérateurs différentiels les plus importants de la physique mathématique (d’ailleurs considérablement généralisés); c’est l’objet des N° 5 à 10. Les resultats des No 2 à 10 sont les plus importants de tout ce travail.

On considère ensuite le 2% cas : celui où À n’admet pas de transformée de Laplace en t; un résultat général pour ce cas est donné au N° 12.

Une fois en possession de la distribution de Green, on constate au N° 13 qu'elle permet de résoudre une nouvelle catégorie de problèmes mixtes : les problèmes mixtes (explosifs ».

Les NO 14, 15, 16 reviennent sur les problèmes mixtes initiaux : les problèmes mixtes fins. Le N° 14 utilise pour cela la théorie des semi-groupes (Hille [1] et Yosida [1]). Les N° 15 et 16 utilisent une transformation de Laplace (bien entendu ces méthodes sont très voisines l’une de l’autre). Le N° 17 étudie la régularité des noyaux de Green, i.e. des noyaux (au sens de Schwartz) des applications TG XT. Enfin le N° 18 étudie rapidement la réflexion des ondes dans le cas du classique opérateur des ondes.

L'essentiel de ce travail a été résumé dans les notes (1) et (III) de Lions [1].

Quelques problèmes mixtes utiles ne sont pas résolus ici, comme par exemple les problèmes mixtes avec conditions aux limites dépendantes du temps, le cas d’opéra-

teurs à coefficients variables en {; ces problèmes feront l’objet d'articles prochains.

Je suis heureux de pouvoir remercier vivement ici M. L. Schwartz qui n'a cessé de me prodiguer ses conseils et ses encouragements; je lui suis redevable de très

nombreuses améliorations, tant dans le fond que dans la forme.

Je remercie aussi M. H. G. Garnir qui m’a fait bénéficier de sa profonde connaissance des problèmes aux limites.

Je remercie M. le Doyen Pérès, M. M. Janet et M. H. Cartan qui ont accepté de se joindre à M. L. Schwartz pour constituer le jury auquel cette thèse a été soumise. Ma reconnaissance va également à M. J. Hadamard, qui a bien voulu pré-

senter mes notes aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences.

Avant de donner la table des matières, précisons qu’au cours d’un même N° (example : N° 10) les théorèmes, propositions, etc... sont notés : Théorème 10.1, Théo-

rème 10.2, ..., Proposition 10.1, ete...

2— 553810. Acta Mathematica. 94. Imprimé le 28 octobre 1955.

Table des matières

Chapitre I. Problèmes aux limites pour une classe générale d’opérateurs

de type elliptique

$ 1. Théorie générale

mHISAE SN

nee

RCE CRT

Page Hypothèses et problème 21 Le théorème d’isomorphisme 24 Problèmes aux limites 28 Application de la théorie de F. 1 29 Systèmes complets de fonctions propres . 32 Propriétés de régularité des noyaux de Green 33 Stabilité des opérateurs de Green . 36 Opérateurs D+M ... 38 Espaces € (4), D (4), D’ A 39 Espaces V, a produits scalaires et bee 41 Opérateurs frontières; nouveaux produits scalaires . 42 Opérateurs de perturbation . . 46 Cas des systèmes différentiels . 47 Plan général d’étude des problèmes aux me 51

82. Applications Opérateurs différentiels du 2°" ordre à coefficients variables bornés 52 Nouveaux problèmes aux limites relatifs à A 60 Opérateurs différentiels du 2°" ordre dégénérés 4 61 Opérateurs différentiels du 2°% ordre à coefficients te en 63 Opérateurs différentiels d'ordre 2m . 69 Autres problèmes aux limites relatifs à A iM 19 Nouvelles conditions aux limites 83 Chapitre II. Problèmes aux limites de type mixte $ 1. Préliminaires

Distributions à valeurs vectorielles 85 Produit de composition . 87 Transformation de Laplace . 89

Lemmes

$ 2. Problèmes mixtes