Plan général d’étude des problèmes aux limites
On suppose donné l'opérateur A, sous une forme quelconque. On suppose que cet opérateur peut être mis sous la forme: A=D+M, comme au N°08. $i c’est possible, on étudiera les problèmes aux limites suivant le plan qui suit :
Borne.
On choisit une décomposition du type D+M; à cette décomposition correspond un espace € (4). On prendra ensuite toutes les décompositions possibles. Cf. aussi Aronszajn [2].
Il faut alors étudier l’espace € (4), et d’abord :
POINT
L'espace D est-il, où non, dense dans € (4)? Si D est dense dans € (4), le seul problème aux limites à considérer (pour À écrit sous cette forme) est le problème de Dirichlet. Sinon, il faut construire des espaces V intermédiaires entre D (A) et £(A). Pour cela est nécessaire l'étude des deux points qui suivent :
POINT
Propriétés de sommabilité locale et globale des éléments de € (4). Exemple : cf. Chap. I, $ 2, N° 1 ci-après.
POINT 4
Définition d'opérateurs frontières, si possible à partir du prolongement des éléments de € (A), sur un morceau de la frontière de Q (cf. déja, N° 1, exemple 1.2). PoInNT 5.
Définition d'espaces V (on utilisera souvent essentiellement les propriétés du point 4).
PoInNT 6.
Propriétés de complète continuité : l'injection de VW dans Q' est-elle complète-
ment continue ?
BOENT EE
Formes sesqui-linéaires; V-ellipticité.
POINT es.
Exemples d'opérateurs de perturbation.
BorNT 9!
Choix d’un espace X (pour la définition de X, cf. N° 3).
PorxnT 10.
Conclusions : problèmes aux limites résolus
$ 2. Applications
1. Opérateurs différentiels du 2°" ordre a coefficients variables bornés On suppose que l’on donne un opérateur différentiel D avec sa décomposition :
LA) 0 a RUE
i,j=1 CFA T;
où ÿ:,—fonction quelconque de L®(Q). On donne ensuite, une fonction M avec (1.2) IELS(O).
On fait les hypothèses suivantes :
(1.3) 2 (Em) AGE af et. Da 0, ec i,j=1 (1.4) (M (x)+ M (x)) >= a >0, ces deux inégalités ayant lieu presque partout dans Q. Point 1 L'espace € (4) est l’espace €::(Q) (cf. $ 1, exemple 1.1) des fonctions de carré
sommable sur (2 ainsi que toutes leurs dérivées d’ordre 1; les notations sont :
dx.
n Q) lue = fincoPas fuit à [lu i=1 Ti Q Q On pose souvent :
ie = Us Point 2 La condition nécessaire et suffisante pour que Da soit dense dans €. (Q) est que la frontière de (2 soit de capacité nulle (cf. Deny-Lions [1]). Exemple trivial : si Q = R",
D est dense dans €4. (R”) (régularisation et tronquature).
Point 3 Propriétés de sommabilité locale et globale.
On rappelle la définition suivante (cf. Deny-Lions [1]) : DÉFINITION 1.1. Un ouvert Q de R", n>3, connexe, est dit ouvert de Soboleff si pour toute distribution 7! telle que T soit dans Z?(Q) pour tout à (ie.
Test dans B L(Q), espace de Beppo Levi sur Q) il existe une constante C telle que T+CEL(Q), 1/g=1/2 -1/n.
Notons que l'introduction de C' est évidemment inutile si ( est de mesure finie.
Ceci posé on a la
PROPOSITION 1.1. Si Q est un ouvert de Soboleff dans R”, n =3 toute fonction u EE: (Q) est dans L'(Q), 1/q=1/2-1/n.
DEMONSTRATION
a) Conséquence de la définition si Q est de mesure finie. b) Q est de mesure infinie.
Soit uw E El: (Q); « est donc dans BZL(Q), donc il existe une constante c avec (1.5) y=u+cEeLT(O).
Soit Qx l’ouvert intersection de Q et de la boule [x|<R. Soit vx la mesure de (x.
On 2 :
ll ; — fu (x) dx| <||u||xvr ?
Ur 9R et 1} #ÿ —| |u(x) dx <|lollievr de Ur OR Or de (1.5) l’on déduit :
1l 1l — TRE, d ss fre 2 - fut x, 9R QR
d’où en faisant tendre R vers l'infini : c=0, v=u€L*®(Q), c. q. f. d. Signalons la propriété de sommabilité locale : toute fonction % de Er: (Q) est
localement L? si n > 3, localement L?, p fini quelconque si n < 3.
Point 4. Propriétés de prolongement
Soit l, une portion de la frontière I de Q; on suppose que [; est une variété à n—1 dimensions, une fois continûment différentiable par morceaux. Alors (cf. déjà le $1, Exemple 1.2), on peut définir une application linéaire continue et une seule,
ni
de £i: (Q) dans L?, (l,) — espace des fonctions localement de carré sommable sur F,, pour la mesure superficielle ds,, espace muni de la topologie de la convergence dans L? sur tout compact, ce qui en fait un espace de Fréchet (i.e. métrisable et complet) — telle que y,f coincide presque partout sur l, avec les valeurs de f sur
V, lorsque f est continue dans QU 1
On dira dans ces conditions que le prolongement en moyenne sur T', des fonctions de Eï: est possible, et que y,f est la prolongée en moyenne de f sur [,. Pour plus de détails, cf. Deny-Lions [1], Soboleff [2], Nikolsky [1].
Si [, est borné, on prend Z?([1,) au lieu de L?.(T,). Si l’on prend alors
F=1?(1,), on a ainsi défini un opérateur frontière y,. On a, pour tout fé: (1.6) || y1 1 ze <C Il Î Il : c= constante.
Si l, est la frontière entière de Q, tout élément w de Di: (Q) vérifie y, u—0. Réciproquement si w est dans €: et vérifie y,u—0, alors w est dans D: (pour un
résultat plus précis, cf. Deny-Lions [1]).
En fait les fonctions de €: (Q) sont de puissance qème sommable au voisinage de |, n2Z3, ce qui permet de prolonger les fonctions de €: (Q) dans un espace plus petit que Z?(T,) (au moins localement), à savoir l’espace L®*(T,), avec : g* —
= il * — D (cf. Deny-Lions [1]). On ne peut utiliser directement l’espace L®* (T,) comme espace F car ce n’est pas un espace de Hilbert. Noter que l’application u y," de 1: (Q) dans L"(T,) n’est pas sur.
On a souvent une majoration meilleure que (1.6), à savoir : (1.7) 91 Îles € If Îlo 1 1h + ca I f1G, 1, c— constantes.
EXEMPLE: Q ouvert de R* dont le morceau l, de frontière est porté par
l’hyperplan x, —0, et ( contenant l’ouvert : l,x)0, e(, & assez petit.
Point 5. Espaces V EsPpACE V,: V,=D;:(Q). Ensuite on prend ESPACE V,=E€: (Q).
ESPACE V,;. On suppose que ( possède un morceau de frontière l', tel que le prolongement en moyenne soit possible. On prend alors pour V, l’espace des fonctions w € Er: (Q) telles que y, u—0 (cet espace contient D et est fermé). Plus généralement : soit V,, un sous-espace vectoriel fermé de L?(T,); on prend pour espace
V le sous-espace de €: (Q) formé des « tels que yuE U:..
ESPACE V,. On prend pour Q le cube )]0,1(". On peut prolonger les fonc-
tions de €;:(Q) sur la face x, —0 (resp. &n— 1); soit yr (resp. y!) l'opérateur de
prolongement en moyenne. On prend alors pour V, l’espace des fonctions de €: (Q)
qui vérifient : y (u) — yn(u). On peut faire la même chose avec les autres faces.
