ESPACE Ÿ
On suppose Q non connexe : Q=Q, UQ,, Q, et Q, ouverts (connexes ou non), sans points communs, ayant une portion de frontière en commun soit 2 telle que le prolongement en moyenne des fonctions de El: (Q,) et de Eï: (Q,) sur Z soit possible. On a alors un opérateur o, (resp. o,) de prolongement des fonctions de €5:(Q,) (resp. Eï: (Q,)) dans ZL?(E) (toujours pour la mesure superficielle sur Z). Toute fonction u E Er: (Q) peut aussi être considérée comme un couple de fonctions : w—(u;, %2), u EE: (Q;). On prend alors pour V; le sous-espace de Er: (Q) formé des fonctions u—(u,,%) telles que: o,(,)—ao,(w), à constante (plus généralement si VU; est un sous-espace vectoriel fermé de L?(2) on prendra pour V le sous-espace des
u=(u,, w) telles que 0, (u;) — à 02 (u2) € Us).
Point 6. Propriétés de complète continuité
On rappelle le théorème suivant, démontré dans Deny-Lions [1]:
THéoRdMEe 1.1. Si Q est un ouvert de Soboleff borné, l'injection de Es (Q) dans L?(Q) est complètement continue. Voir aussi Soboleff [2], Courant-Hilbert [1]. On voit facilement sur des contre exemples que pour que le théorème 1.1 soit vrai, il faut imposer à Q deux conditions : l’une du genre « () borné » l’autre du genre «Q a une frontière régulière». Cette 2% condition disparait si l’on veut seulement
avoir la complète continuité de l'injection de Di: (Q) dans Z?(() :
THéoRdMEe 1.2 (Cf. Gârding [4].) Si Q est un ouvert borné, l'injection de Di: (Q) dans L? (Q) est complètement continue.
A partir des théorèmes 1.1 et 1.2 on peut passer à d’autres cas. Exemple : Soit À un compact quelconque de À” contenant l'origine, et B une boule ouverte |æ|<R, contenant X; on prend Q=BnCX, et pour espace V l’âdhérence dans
1, de l'espace des fonctions continues dans (, nulles dans un voisinage (variable) de K. Alors l'injection de V dans L?(Q) est complètement continue, l'injection de
€}. dans L? pouvant ne pas l'être, si À a une frontière très irrégulière.
Point 7 Avec les notations du $ 1, N° 10, p. 26, on a :
(1.8) (u, vas= } fous ac+ J'arusar Q
56 JL ILIONS
La partie hermitienne de cette forme est :
Qi5 + Gsi OU OÙ MmEMm (1.9) COPA ED] "> 1 REA dx + [ 5 u 5 dx.
Grâce à (1.3) et (1.4) on a :
(1.10) (u, u)4,91 > al] u||f, a=inf (a, &), pour tout « dans €.
