FORMES SESQUI-LINÉAIRES ATTACHÉES À D +M

Si y, est un opérateur de prolongement en moyenne et B un élément quelconque de CL(L?(T;); L?(T,)), on peut prendre, comme au $ 1, N° 11 :

(1.11) ((u, v))=(u, v)a9 + (Bniu)nvds.

Pr

Pour voir si la forme (1.11) est elliptique, on utilisera la prop. 11.1, p. 45. Pour fixer les idées, on pourra supposer : B+ B*=0.

Voici quelques remarques plus spéciales à ce sujet.

a) On suppose que () est un borné quelconque, et V =D: (Q(). Alors une ma-

joration élémentaire (cf. Gärding [4]) montre qu’il existe une constante c telle que : ulk <cllul, pour tout « dans D! (Q)

(majoration inexacte sur Æ€ï:(Q); exemple : w—1). Dans ces conditions |lx|, et Ilulll sont sur D: (Q) des normes équivalentes et ((u, v)) peut être D::-elliptique (évidemment il n’y à pas d’opérateur frontière à considérer) avec une fonction M telle que M+M soit négatif.

b) Supposons maintenant que () soit un ouvert de Nikodym, i.e. un ouvert connexe borné, tel que toute distribution TE BL(Q) soit dans Z?(Q) (cf. Deny- Lions [1]). Supposons en outre défini un opérateur frontière y,. Pour « dans €4.(Q),

posons CP12) ef = [fu + |loa el ro.

PROPOSITION 1.2. Si Q est un ouvert de Nikodym et si on a défini un opéra-

teur de prolongement y, [lulls défini par (1.12) est sur E4. une norme équivalente à