APPLICATION

Sous les hypothèses de la proposition 1.2, si M—0, et si B+ B* est strictement positif dans £(Z?(1,); L?(T,)), alors la forme sesqui-linéaire correspondante est €::-

elliptique.

Point 8

On peut prendre comme opérateur de perturbation :

où M EL®(Q). On applique les remarques du $ 1, N° 12.

Point 9. Espace X

Si les g; et M sont dans €, on peut prendre pour X l’espace des distributions TE D' telles que (D+M)T (qui a un sens; il n’en est plus de même si g; € L°® (Q)) soit dans Z?(Q) (ou dans D’, dans le cas du problème de Dirichlet).

Variantes évidentes dans le cas où les g;; et M sont k fois continûment dif-

férentiables dans (.

Point 10. Problèmes aux limites résolus

On désigne par [la frontière de (Q. On donne d’abord une formule d’intégration par parties. On suppose pour cela que [' est indéfiniment (ou suffisamment) différentiable; soit w, v dans €%:, les fonctions % et v étant en outre indéfiniment différentiables dans Q. Soit s€T, n(s) le vecteur unitaire de la normale intérieure à l'en s. On désigne par cos (n (s), x) le cosinus de l’angle de n (s) avec l’axe des x:.

On désigne par ypn(u) la fonction :

die) S—ypu(s)= 2 gi; (s) À. u(s) cos (n(s), vi)

(où l’on suppose les g;; continues dans Q). La fonction yh4w est dite : dérivée nor-

male de uw par rapport à D sur L. On à alors la formule :

Ou 00 —— (1.14) (Du, v)1: = E [as + = dx+ frourvas Q L

où yv= valeurs de v sur T.

Si maintenant EE: (Q), vEEr:, Due L?, sans aucune hypothèse sur l', sans hypothèses supplémentaires sur les g;; la formule (1.14) n’a pas de sens : yv n’a pas de sens, et ynp% encore moins; on peut seulement utiliser (1.14) pour obtenir des interprétations formelles des problèmes aux limites.

Grâce aux hypothèses faites, fous les problèmes aux limites correspondants aux espaces ci-après admettent une solution unique.

EsPACE V, (p. 54).

C’est le problème de Dirichlet au sens de Gârding.

ESPACE V, (p. 54).

Alors, “EN signifie (formellement, on ne le répétera plus) J VD uyv ds—0 pour

ik tout EE: donc ynu—0. Le problème aux limites correspondant est (cf. $ 1, No 3):

trouver U dans X, solution de

(1.15) (D+M)U=F, F donné dans Z?, avec les conditions :

(1.16) U—RhEN,

où » est donné dans X, i.e., grâce à l'interprétation ci-dessus : (117) yoU= ph

c’est-à-dire que ynU, dérivée normale de U par rapport à D est donné sur T. C'est le problème de Neumann. La forme sous laquelle il est posé est celle indiquée en remarque dans Gärding [4]. C’est une généralisation des problèmes de Neumann sous la forme de Courant et Hilbert et Pleijel. b) B non nul.

La condition € N signifie alors :

fypu yvds ce fBynuyo ds 1 ï

pour tout v dans €!:, donc :

ypu = 0 sur l'—-F, you = By,u sur [.

Le problème aux limites correspondant revient à :

fyoU donné sur L['—},,

PS — By,U donné sur |".

Généralisation immédiate aux cas où l’on prolonge sur plusieurs morceaux de frontière.

EsPACE V, (p. 54).

On suppose B—0 pour simplifier. La condition «€ N signifie :

fyouyo ds — 0 pour tout v dans F,; T

comme y,v—0 sur |’, reste seulement la condition : | VD U TT ds —0 T-T et finalement, «EN (V,) signifie :

[you =0 sur P—[

[y uw =0 sur T,.

Le problème aux limites correspondant revient à : ypU donné sur F —1,, y, U donné sur [';; c’est un problème aux limites de

type mélé (terminologie de M. Hadamard).

EsPACE PV, (p. 54).

On prend B—0. La condition € N signifie :

Ulr,-o= le, tb Yul:,-0= —ypul:,-1; même chose pour les autres faces. (Cf. Minakshisundaram [1].)

ESPACE V, (p. 55).

La condition «€ N signifie (on prend encore B = 0) :