Nouveaux problèmes aux limites relatifs à A

On se place sur un ouvert ( de R?, n—2; À est le Laplacien. Si l’on pose :

(2.1) Si

CEA “ 0% oo, à CEA (42 4)

on peut écrire :

(2.2) — A=a; "A; A;t+atA; Ads, 420, m+a=l.

On prend M — opérateur de multiplication par une fonction M € L® avec M (x) = u=0

presque partout dans Q.

1er cas : a, et a, non nuls

Point 1. Espace € (4).

C’est l’espace des fonctions & € L?(() telles que A,:u et A,-u soient dans L?,

done € (A)=— Er: (Q). Les points 2 à 6 sont alors identiques à ceux du N° précédent.

Point 7. L'opérateur — À donné par (2.2) est € (A)-elliptique. Diffère seulement de ce qui précède le

Point 11. Interprétation des problèmes aux limites.

On a la formule :

Q Q 5 (2.3) (— Au, v)r=(u, dat [(S ur (ds — da) Fu)sas

0 ; — u = dérivée normale, —— w = dérivée tangentielle. Ov 08

Prenons V = €7:(Q); la condition « EN signifie alors

2 u+i(a-a)z 0 SU Le

le problème aux limites correspondant est différent si a, + a, du problème de Neumann 2 a relatif à — A écrit sous la forme + Le Oxi x 2%, cas: do = 0.

L'espace € (4) — € (4,) est l’espace des fonctions w € L? (Q) telles que 4, :u € L? (Q). Cet espace contient €ï:(Q). On a : l’adhérence D (4,) de D, dans £ (4;) est identique à

D':(Q). En effet on voit directement que pour tout g dans Da on a:

I] 41: plz = I œ Îl;

d’où l'identité de D(4,) et Di: (Q), complétés de Da pour la même norme.

Pour l'interprétation des problèmes aux limites on fait a, —0 dans (2.3).