Opérateurs différentiels du 2ème ordre dégénérés
On considère l’opérateur
E à © , ; (3.1) DNS , RÉSULTE RE
gi i,3=1 OT 0%;
où : H,EL®(Q), à valeurs réelles, g;—=g;; (tout ceci pour un peu simplifier), et
l'opérateur M, multiplication par M € L® (Q) avec
(3.2) M (x) = u>0 presque partout dans ().
On suppose :
K (3.3) S gx) & & > «lEf? pour tout EEE”, x >0. i,j=1
L'opérateur D est dit : opérateur elliptique dégénéré (ceci parce que K <n). Point 1. Espace € (4).
Ô 2 C’est l’espace des fonctions w € L?(Q) telles que nd soit dans Z? (Q) pouri=1,..., X
ul
: Q Q sans aucune hypothèse sur RL u}.
26h TK1 OXn
Point 2. Densité de Do.
Désignons par À l’espace des (x,,...,æx) et R"-* l’espace orthogonal dans R”.
Soit Q, (resp. Q,) la projection de Q sur RŸ (resp. sur R°-*). On a la
PROPOSITION 3.1. Si la frontière de Q, n’est pas de capacité nulle, l’espace Da
n’est pas dense dans € (À).
DÉMONSTRATION
On utilise le corollaire 9.1, $1, p. 41 : il faut montrer qu’il existe « dans € (4)
solution non nulle de
(3.4) ce —#u+u=0.
ai € L?(«) pouri<K,
On considère l’ouvert o—=Q,xQ,=Q. Il existe U € L? (w) avec ‘ T;
non nul, solution de
(3.5) Al 0
En effet la frontière de Q, étant de capacité positive, il existe une fonction #,
non nulle dans €: (Q,), telle que
s tu =0.
ren ; Si alors «, est une fonction quelconque de Z?(Q,), la fonction U =u, @ u, vérifie (3.5). Soit « la restriction de U à Q; c’est un élément de € (A) non nul, qui vérifie (3.4) d’où le résultat.
Point 4. Prolongement des fonctions.
On peut suivre une méthode analogue à celle de Deny-Lions [1]; il faudra supposer que les directions des normales à l vérifient certaines hypothèses de façon à
pouvoir majorer sans utiliser les dérivées en %x:1,..., Zn.
Point 5. Espaces V. Exemples analogues à ceux du N°1.
Point 6. Complète continuité.
L'injection de €(A) dans Z?(Q) n’est jamais complètement continue; en effet il n’y a pas de condition de Lipschitz dans l’espace L? pour les translations parallèles AUX AXES ri. ne
Point 7. Grâce à (3.3), D est € (A)-elliptique.
Point 9. Interprétation des problèmes aux limites.
On opère comme au N° 1, en utilisant la formule :
(3.6) (Du, v)m=(u,v)»+fypuyvds 1P où K 37 BE 0 CO (es, di) (3.7) yD 2,9 2e (n, mi)
4. Opérateurs différentiels du 2ème ordre à coefficients variables irréguliers
On donne dans Qc R” l'opérateur
EC © (4.1) D Mer 8 x (o, di a; © .
où les fonctions g;; sont réelles dans L°® (Q), g;=g;i pour tout i,7, et où les di, A2, -., an sont des fonctions quelconques dans (), une fois continüment différentiables, à valeurs réelles.
On donne ensuite l’opérateur M de multiplication par une fonction localement
sommable sur (À, avec (4.2) M (x) = u > 0 presque partout dans {.
On suppose que
(4.3) DZ mi)hË&Zzaléf, «x>0, £EZ.
64 JÉFINITIONS
Point 1. Espace € (4).
On pose :
(4.4) TNT
fonction positive localement de carré sommable; la fonction 1 /m est dans ZL® (Q) : 0 <1/m (x) <1/Vu. On prend pour espace Æ ($1, N°8) l’espace des fonctions f du type :
muni de la norme :
(4.6) If 11e = 119 Île -
Alors Æ est un espace de Hilbert, contenu dans Z? (c’est aussi l’espace des fonctions f telles que mf€E L? (Q)). On prend pour À, l'opérateur f > mf de E —> L?, isomorphisme sur (on a donc (E 1)). Le dual E' de E est l’espace des fonctions F du type
1l (4.7) F=mG, GEI?(Q) (ou encore telles que 2 Fel). On a: EcLcE'; sif€E, F EE, leur produit scalaire est : (4.8) Gr>= [(mf(=F)dx.
On prend pour g l’application identique.
