OPÉRATEURS À

Q) On prend pour À; l'opérateur pur on définit bien ainsi un élément de î

, ; © £L(E; Do) (si fEE alors f est dans L?, et a; at est localement dans Di: (Q), donc

est dans Do) et de £L(Do; L?), done on a (E2), p. 38. L'opérateur ‘4; est défini pour fEL?(Q) par :

Aif= — — (af).

Î rs (ai f)

Donc € (4) est l’espace des fonctions « telles que mu € L? et a Er, muni de la T; norme dont le carré est

ou CEA

n 2 Île u |f5 + »> di .

Point 2. Densité de Do.

On désigne par d(x, l) la distance de æ€ Q à [° frontière de Q. On à la

PROPOSITION 4.1. Si la fonction m est continue et si

Se), c,=constante, x € (),

di (x) Le Ë (Dr lc)

alors Da est dense dans € (4).

DÉMONSTRATION

a) Soit F—ÇQ et F(e) l'ensemble des points de R” à distance <e de F; on

désigne par y. la fonction caractéristique de Ç # (2e); si 0 € Dyn, o (x) = O0 de support

Il 5 [x | < 1, de masse totale 1, on note op. la fonction + —0.(x) — c 0 (:). Alors 0, — Ô

(— masse 1 à l’origine) dans € €

dans € (4), et u.—b.u. On voit tout de suite que mu, mu dans L’10)2 Pour

.n, lorsque e—0. Posons : b.—7,%x0., fonction de

chaleur CF(3e), nulle sur #(e) (donc nulle au voisinage de F). Soit u donnée

; ù Q) Ou montrer que 4.—>w dans € (4), il reste à montrer que 4; =. met. pre dans Z? (Q), T; Ti ce qui revient à montrer que

d; (£ bju (ete) em +0 dans Z? (Q).

m OT;

Ô 2 ne (x) Cole par conséquent :

Ô d; AS =£ = a(r)r ce 24 D)| bte ÿ Imu|,

donc —>0 dans L? par le théorème de Lebesgue. Donc : Les fonctions de £ (A) nulles

est majoré par c;|mul| et tend vers 0 presque partout dans ©,

au voisinage de T' sont denses dans € (À)

ai (x) læ | m (x)

@ $i Q=R", il faut remplacer (4.9) par : est borné.

5—553810. Acta Mathematica. 94. Imprimé le 28 octobre 1955.

66 JB LIONS

b) Désignons par c une fonction de D,r,=1 pour |x|<1, et=0 pour [x|>2,

0O£c(x)<1 partout, et désignons par cr la fonction : æ—cr(x) =c(x/R). Soit

donnée dans € (4); posons ur=cRu; mur-—>mu dans L?(Q); pour montrer que

d; Ur —= Qi u dans Z? (Q), tout revient à montrer que 0%; CA 1 0 X=4 Na u = (un 32 cn) (mu) 0 dans 7? (Q).

o 1 A Or he Ca 7 ©b est nulle sauf pour R <|x| <2R. En écrivant : TL;

db 1 1 d'(æ, l) LE . rl F1 } (Ie er) ur

on voit que | X(x)| < c;|mu(x)| et done X 0 dans L? (Q) par le théorème de Lebesgue. Combinant avec le a), on à montré : les fonctions de £ (A) à supports compacts dans (] sont denses dans € (À).

c) Soit maintenant w € £ (A) de support compact dans Q. On veut l’approcher dans € (4) par une suite de fonctions de Do. Pour cela on va régulariser w. Soit 0. > Ô dans Er. On identifie dans le reste de la démonstration une fonction f définie dans Q avec son prolongement f à R" par 0 hors de Q. Avec cette convention la régularisée de «w par 0. est : w.=ux0, de support compact dans () pour e assez petit. La proposition sera démontrée si l’on prouve que w,—u dans € (4). Comme u.—>u dans 1?(Q) en gardant son support dans un compact fixe, w, uw dans Z.

Reste à montrer que

Or d’après le Lemme de Friedrichs sur les « Mollifiers » (cf. Friedrichs [1]) on sait que :

0 Q 2 di Cu) X Qe— di (£ ) —0 dans Z*(Q) (puisque w est à support compact); comme Q ) di; CE «) X Le > Gi es u dans Z? (Q), on à le résultat.

Voici maintenant un critère de non-densité.

PROPOSITION 4.2. On suppose qu’il existe un ensemble © porté par T', de capacité

positive, ayant un voisinage «w dans Q sur lequel les fonctions |a;

sont bornées inférieurement. Alors Da n’est pas dense dans E (A4).

DÉMONSTRATION

Soit FED,n, —1 sur un morceau de capacité positive de 2, et soit f sa re-

striction à æ. Si Da était dense dans € (A), on pourrait approcher la restriction f; de F à Q par une suite de fonctions de Da dans € (4); par restriction à « et en utilisant le fait que les lai | sont bornées inférieurement sur &, on aurait : f— lim. nr dans €5:(w), où les gr sont dans €,, nulles au voisinage de X, ce qui est im-

possible.

Point 4. Prolongement des fonctions de £ (4).

On se ramène à €: (Q) : soit |, un morceau de [sur lequel le prolongement en moyenne est possible (cf. p. 53 et 54); on suppose en outre qu’il existe un voisinage w de I, dans Q sur lequel les fonctions a; sont bornées inférieurement. Alors toute f dans € (A) a sa restriction à æ dans €z:(w), et prolonger les fonctions de € (4) sur

V, revient à prolonger les fonctions de €: (w) sur [”,.

Point 5. Espaces V. Ici encore on a des exemples analogues à ceux du N° 1.

Point 6. Propriétés de complète continuité.

Considérons d’abord le cas O—=R". On a la

PROPOSITION 4.3. On suppose que :

(4.10) Les fonctions a; ne s’annullent jamais ; (4.11) La fonction M (x) tend vers l'infini lorsque |z|— oo. Dans ces conditions l'injection de E (A) dans L?(R") est complètement continue.

DÉMONSTRATION

Soit B la boule unité de €(4); il faut montrer qu'elle est relativement compacte dans Z?(R") donc (cf. A. Weil [1]) :

a) Pour tout e > 0 il existe un compact ÆX de R" tel que

J | f(x) P dx < e pour tout fEB.

b) Pour tout € > 0 il existe un nombre 7 tel que tn (D —fllumn <e pour|k|<n,/€8

(tn f—translatée de f du vecteur h).

Montrons a); on à :

[let az - [imif 3 de CK

CK donc < max l/m, xECÇK, d’où le a) grâce à l’hypothèse (4.11).

Comme le a) est démontré, pour démontrer le b), il suffit de montrer ceci :

on donne un compact À et e; montrer qu’il existe 7 tel que

[lf(x—2)—f (x) P dx < e pour |[h| < 7 et pour tout fEB. K

Or grâce à (4.10) les fonctions f sont localement dans €5:, et demeurent dans un ensemble borné; l'inégalité résulte alors de Schwartz [2] théorème XVII, p. 42.

On peut généraliser la proposition 4.3 comme suit : PROPOSITION 4.4. On suppose que sur un ouvert Q de R" on a (4.10) ainsi que

il existe une partition de l’unité sur Q :

(4.12) n 1 = Dore XX ; BPEEa, = 0, k=1

les applications u — ax u étant compactes de £ (A) dans I? (Q) et

4.13) si l'; est la portion de frontière de () en commun avec le support de B, M (x)— co si |x|—-oo(rEQ) ou si Ts.

Dans ces conditions, l’injection de € (A) dans L? (Q) est complètement continue ().

DÉMONSTRATION

Soit B la boule unité de € (4); il faut montrer qu’elle est relativement compacte dans L?(Q), i.e. :

a) pour tout #0 il existe un compact K avec

lfÎluem <e pour tout /EB et

b) pour tout #0 il existe 7 tel que er f— fl

f désignant la fonction f prolongée à R* par 0 hors de Q.

nçrm < € pour ||h|| < y et fEB,

Par utilisation de la partition de l’unité, on est ramené à démontrer des majorations

analogues pour les fonctions &;f, et Bf. Pour «;f ces majorations sont vraies, puisque

La partition de l’unité permet de passer du local au global.

les applications f — «x f sont compactes. Pour ff on opère exactement comme dans la proposition 4.3, grâce à (4.13).

Les points 7 à 9 sont analogues à ceux des N° précédents.

Point 10. Problèmes aux limites résolus.

On utilise la formule d'intégration par parties :

Du, 5» = (u, v)p + [yo uyvds, nl où le premier membre désigne le produit scalaire (4.8), où

Ou 0v (u, v)p = 5 fau gta Par

et où

n © = Or S ; Fa) | yYDu PAL i Da cos (n, x) On a des résultats semblables à ceux du N° 1. Par contre les propositions 4.3 et 4.4 donnent des résultats de complète continuité différents de ceux du N° I. d?

dr?

L'espace €(A) est donc l’espace des fonctions w telles que Vx?+1 EL? ainsi que

Exemple : on considère sur A1 l'opérateur D — — et M donnée par M(x) =? +1.

d mur ; À ——u. L'injection de Æ€(A) dans ZL?(R1) est complètement continue, donc le système

des fonctions propres :

dè da

Ur + (2? +1) ux = Àx Ux

forme un système complet dans L?(R1) et même dans €(4) (cf. $ 1, N° 5, p. 32). On retrouve ainsi le système complet des fonctions de Hermite (ef. Titchmarsh [1]). Les propositions 4.3 et 4.4 conduisent donc à de nombreux systèmes complets sur

L?(R1) ou sur Z?(Q), Q borné ou non. C’est une généralisation des résultats de

Titchmarsh [1], [2].

5. Opérateurs différentiels d’ordre 2 m On considère sur (Q ouvert quelconque de R" l'opérateur défini pour 9€ Da par

(5.1) DEPAE UE > D? (9»a D°p)

lp, 1al=m

où p et q parcourent tous les indices r—(r,, ..., r,) tels que

n fr= Dim, i=1

où ÿpa EL? (Q).

On donne ensuite M, opérateur de multiplication par une fonction M € L® (Q), avec (5.2) M(x)=u>0 presque partout dans Q.

Comparant avec les notations du $ 1, on a: 4; — D” (en ordonnant les indices p).

Point 1. Espaces € (4).

On prend Æ=1?(Q). L'espace €(A) étant important on lui donne une notation spéciale :

Espace £%:(Q)(=E€ (4)).

C’est l’espace des fonctions u € L?(Q), telles que D’u € L? pour tout p avec |p|=m,

sans aucune hypothèse sur les dérivées intermédiaires. On pose de façon générale : PS D 2 alé =2 Duc, [pl=k.

L'espace Æ7:(Q) est muni de la norme :

(5.3) Iecllm, = (ec flo + Ile).

C’est un espace de Hilbert (proposition 9.1, p. 40). On désigne par E%:(Q) l’espace des fonctions « dont toutes les dérivées d'ordre

<m sont dans Z?(Q), avec la norme m + + 6.4 Hull. -(S lui) - K=0

Les espaces Æ7:(()) et €7:(Q) coincident localement (et coincident localement avec l’espace des distributions dont les dérivées d'ordre m sont localement Z?), mais non

globalement (cf. point 3).

Point 2. Adhérence de D, dans Æ7,(Q).

Les topologies induites sur Da par #%(Q) et £7.(Q) sont identiques; en effet,

si pEDa, les normes pile, et [ph sont équivalentes (comme on voit par trans-

formation de Fourier et utilisation du théorème de Plancherel). On en déduit :

THÉORÈME 5.1. L'espace D(A) est identique à Dr:(Q), adhérence de Da dans Ex (Q).

THÉORÈME 5.2. Si la frontière de Q est de capacité positive, Da n’est pas dense dans E7:(Q).

Point 3. Propriétés de sommabilité globale.

On peut très bien avoir pour certains ouverts Q (de frontière irrégulière) l’espace

7: (Q) strictement contenu dans H7:(Q) ce qui conduit à poser la DÉFINITION 5.1. L'ouvert Q est dit: m-régulier m > 1 si toute fonction uEE7:(Q) est dans €7.(Q) (autrement dit si les espaces Z7:(Q) et €7:(Q) coincident, algébriquement). Mais si les espaces Æ7.(Q) et €7.(Q) coincident algébriquement, comme le 2°" a une topologie plus fine que le 1er, ces topologies coincident (Théorème de Banach, cf. Bourbaki [1] p. 37, Cor. 2) et done : si Q est m-régulier, pour tout q avec |g|<m,

il existe une constante À, ne dépendant que de q, m, et Q telle que

(5.5) Du

2 <Aal(llulé+llul%) pour tout uEeEr(Q).

Réciproquement, soit Q donnant lieu aux inégalités (5.5). Nous ignorons si ceci entraîne l'identité des espaces Z7:(Q) et Æ€7:(Q); la question se ramène à savoir si

7(Q) est dense dans ÆZ7%:(Q) (voir des problèmes analogues dans Deny-Lions [1]).

Exemples d’ouverts m-réguliers

On voit tout de suite par transformation de Fourier que (= R" est un ouvert m-régulier, quel que soit m.

Tout ouvert de Nikodym (cf. p. 56) est un ouvert m-régulier; il y a même alors beaucoup plus : toute distribution 7 dont les dérivées d’ordre m sont dans L? est dans €7.(Q) (évident). Exemple : les boules (ouvertes) sont des ouverts m-réguliers.

Nous démontrons dans Lions [3] le

THÉORÈME 5.3. Soit Q un ouvert de R" tel que toute parallèle à ox; coupe Q en un nombre fini ou non de segments ouverts, de longueur finie où non mais Za70, et ceci pour toutes les directions d’axes. Alors Q est m-régulier.

Exemple : les complémentaires des boules fermées sont des ouverts m-réguliers.

La propriété de m-régularité est une propriété locale de la frontière.

Point 4. Prolongement des fonctions de Æ7:(Q). Soit [, un morceau de la frontière [ de Q, possédant un voisinage « dans Q

tel que :

(5.6) « est m-régulier et le prolongement en moyenne sur [, est possible (cf. p. 53 et 54).

Si U est dans ÆZ7:(Q), sa restriction « à «œ est dans £7:(w) donc, æ étant m-régulier, est dans €7%:(w); on peut donc définir y,(u), .…, y, (Du) pour [pl < m—1, éléments de L?(T,).

Point 5. Espaces V.

a) Soit Z un morceau de frontière de capacité positive. On prend alors pour espace V l’adhérence dans Æ7:(Q) des fonctions qui sont identiques à 0 (ou bien dont certaines dérivées d’ordre <m—1l sont nulles) dans un voisinage (variable) de X.

b) Soit [', un morceau de frontière, avec (5.6).

On peut alors prendre pour V le sous-espace vectoriel fermé de Æ#7.(Q) formé des fonctions v telles que :

71(D°v)=—0, pour p parcourant un ensemble d'indices A, avec [p|<m—1 (plus généralement, on prend des sous-espaces vectoriels fermés V, de L?(T), pEH, et pour W le sous-espace des fonctions v telles que y, (D? v) € Ÿ, pour pEH). Ce procédé donne évidemment de très nombreux espaces V; c’est la généralisation naturelle des espaces V; (p. 54); on généralisera de même les espaces V, (p. 55).

c) Voici un autre exemple important :

On suppose que l’ouvert Q est m-régulier. On prend pour espace V l’espace des fonctions uE E7:(Q) et appartenant à Di:(Q), k<m (pour k=m, c’est D7.(Q)); comme Q est m-régulier, Æ7:(() coincide avec €7:(Q) et on définit bien ainsi un sous-espace vectoriel fermé de Æ7:(Q); c’est l’espace des fonctions dont les dérivées d'ordre

£k-—1 sont nulles en moyenne sur la frontière de Q.

Point 6. Complète continuité.

On suppose Q est m-régulier. On est alors ramené à voir quand l'injection de Er:(Q) (ou de ses sous-espaces V) dans Z?(Q) est complètement continue. On se ramène à m—1; exemple : si l’injection de €;:(Q) dans Z?(Q) est complètement continue, il en est de même de l'injection de €7:(Q) dans Z?(Q) (évident). On utilise

alors les critères des pages 54 et 55.

Point 7. V-ellipticité.

Explicitons pour ce cas particulier la définition générale de V-ellipticité : l’opé-

rateur D est V-elliptique s’il existe une constante «&, >0 telle que

(5.7) D fat) D'uD'udx > allul} pour tout «ep.

IPl,lal=m Q

(CE. déf. 10.2, p. 43).

Par application de la transformation de Fourier on à (Gârding, Visik) :

THÉORÈME 5.4. Si D est à coefficients constants, la condition nécessaire et suffisante pour que D soit D-elliptique est que (5.8) DT TR En.

pl, lal=m

Montrons maintenant le

THÉORÈME 5.5. Si D est à coefficients constants et si QÀ est borné, la condition nécessaire et suffisante pour que D soit E%:(Q)-elliptique, est que pour tout ensemble de

nombres complexes E,,|p|l=m, on ait :

(3.9) 2, Grababr 2% D Far 1Pl,1al=m Ipl=m

DÉMONSTRATION

Il est immédiat que la condition est suffisante. Montrons qu’elle est nécessaire :

si (5.9) n’a pas lieu, il existe un ensemble de nombres É£ tels que

> ee 2 0)

1P11al=m

Soit alors P un polynome tel que D’P—{%,|]p|=m. Puisque Q est borné, P est dans Æ7:(Q) et (P, P), <0, donc D n’est pas Z7:(Q)-elliptique d’où le résultat.

En comparant les résultats des théorèmes 5.4 et 5.5, un voit que la notion de