V-ellipticité dépend effectivement de V
Point 8. Opérateurs de perturbation.
On peut prendre :
(5.10) > map om, COLA L),
ou bien, si ( est m-régulier :
(5.11) DES ND Me CCD Li
IpI<m
74 J. L. LIONS On considère alors (cf. $ 1, p. 46 et 47) :
(Qu, v)) = (u, v)prn + (Byiu, YaV)ze as + PU, 8) (u, v)p=Z [gra Du D’vdx,
(u, vu = [ Muëdæ, (u, v)nim=(u, v)n + (u, vu Q et il faudra par exemple (prop. 12.1, p. 47 et déf. 12.2, p. 46) que P soit de partie
hermitienne positive. On peut définir V, sous-espace de €7:, par la condition : (Puy, u)rn+(u, Pu)n=0
(et, éventuellement, des conditions supplémentaires). Il faut que V contienne D, donc
il faut, que pour tout œ dans D, on ait :
(5.12) (Pp, pu + (gp, Ppu > 0.
P=(—1)ÿ" >: D'(ass D), ya =@as = constantes réellés, -2y = m. IPl,1a1=y Alors (5.12) a lieu si :
D'apae tte Oifpour. tout ɀE7.
Point 9. Espace X.
On suppose pour ce point que
L’operateur D est à coefficients indéfiniment différentiables et I
est indéfiniment différentiable.
On prend alors pour X l’espace des distributions T' telles que (D+M)T soit dans L?(Q), ou dans D: dans le cas du problème de Dirichlet.
Les propriétés locales des éléments de ces espaces ne sont pas connues. Signalons toutefois le résultat simple suivant, du à Friedrichs (1), Théorème 1 : Si 7! est une distribution localement dans £€7: (sur Q) telle que D-:T soit localement de carré sommable, alors 7 est localement dans €”. Ce résultat vaut en supposant seulement les coefficients de D m fois continûment différentiables. Pour des résultats voisins, voir Browder [1], [2], [3], [4] et John [2].
Rappelons également le résultat suivant : si m>n/2 les fonctions de €7:(Q) sont (presque partout) égales à des fonctions continues (résultat immédiat en utilisant la
transformation de Fourier).
Point 10. Problèmes aux limites résolus.
On va considérer un opérateur D particulier :
n © æ n © & i, 510% O0 % OmÔ®; 1102 Où
où a>0,b=0,a+b=l1, L'espace € (4) est H%.(Q).
L'opérateur A° sous la forme (5.14) est H%:(Q)-elliptique. En effet, pour A? écrit
comme çi-dessus, on à (u, u)a = alu | +0|| Aulf=alu|l, a >0.
Donc tous les problèmes aux limites étudiés ci-après ont une solution unique.
Formule d'intégration par parties
On suppose pour l'instant que la frontière l de Q est assez régulière, les fonctions « et v suffisamment différentiables et petites à l'infini pour que toutes les intégrales çi-après convergent. On note s le point générique de l, ds la mesure superlicielle et n(s) le vecteur unitaire de la normale intérieure à l'en s. Si f est une
fonction une fois continûment différentiable dans Q UT, on pose :
e (a) nl) cos (n(s), x) (dérivée normale).
On à :
De 0 À he (5.15) (Au, D) 11 = 5, “ods—al(u, v) — b | (Au) 5ds + (u, va:
V J U T où l’on à posé :
n 0 $ (5.16) T(u, v) = = > | Lu) cos (n, CEE T
Transformons Z(u,v); on se ramène au cas où v est à support compact sur Q, de façon à pouvoir prendre des coordonnées locales au voisinage de ce support : on prend dans une boule de À” contenant ce support un système de coordonnées locales,
À; +, Ân 1, v, de sorte que » désigne la distance de x à T'; on a:
sè y (s) = cos (n(s), x) CA
et on peut écrire :
Ê a ra or @ TG UY= ST | . “4 COS (n, x) (5 2 — 55 © (08 (n, m)) ds.
On intègre par parties en À;. Si l’on pose
n 2 (5.17) T'(u) = . cos (n, x) cos (n, *;) et 0 ® 0 Àx L ;) — données locales), (5.18) S(u) 2,8% Ce cos (2, 07) (en coordonnée ) il vient:
On a finalement la formule :
(5.19) (Au, v)r = [au aS(w}5ds- farçtsau Ésas+ (una in Ë
Les fonctions S(u) et T'(u) sont indépendantes des coordonnées curvilignes choisies à cause de l’unicité de la décomposition d’une distribution en somme de dérivées transversales.
On va maintenant interpréter quelques-uns des problèmes aux limites relatifs à
V+M,M(x)=u>0, résolus par la théorie générale, en utilisant formellement (5.19). ExEeMPLE 1. V—Æ%.(Q) (problème de Neumann).
La condition EN signifie :
À (Au) a 8 (u)—0 et aT(u)+bAu=0 sur FT.
Le problème aux limites correspondant est : trouver U dans X, solution de (NM +M)U=F,
F donné dans Z?, avec les conditions aux limites : U—hEN, h donné dans %, soit :
® (AU) -a8 (0) = un est donné sur l Ov Ov
et aT(U)+bAU=aT(h)+bARh, donné sur F
(par la suite nous n’interprétons plus les problèmes aux limites mais seulement les conditions aux limites).
Les conditions aux limites actuelles généralisent celles de Pleijel [1]. Notons
toutefois que cette théorie sous sa forme actuelle ne marche pas pour M —0, cas
PROBLÈMES AUX LIMITES EN THÉORIE DES DISTRIBUTIONS ÿl7
étudié par M. Pleijel (pour M —0 notre méthode marche en utilisant une généralisation de la notion d’ouvert de Soboleff).
On peut ensuite faire varier « dans 0<a<1l,(b—1-—a). On ne peut pas faire + Fe dis Ô a—0, de sorte que le problème aux limites avec les conditions : Auw—0, 3, Au=0 y sur [n’est pas résolu pour l’instant; cette lacune est comblée au N° suivant.
On suppose donné un morceau [, de la frontière avec (5.6). On utilise alors
les espaces V du point 5, b), p. 72.
1) vEV équivaut à y,(v)=0.
Alors 4€ N signifie :
yitu)=0 sur F,, À (Au) - a Su) 0 sur II", etuaT'(u) +5 Au=0"sur [,
C 5 A =0 pour i=1,...,n.
2) vEV equivaut à y, L %
Alors EN (N) signifie :
G) V1 CZ. «) =0 sur [, pour tout à,
aT(u)+b Au=0 -sur FT, (A4 aS(u)=0 sur T.
On peut donner des variantes évidentes à ces exemples.
On donne [',, avec (5.6) et sur [', les fonctions: c«, continue positive, c; une
fois continûment différentiables, =0. Pour w,v dans Æ%:(Q) on pose :
ie £ ou Cle (5.20) J (u, v) = Je yilu)y1(0) ds + 2 CEA G: cn C2 5) ds. r In On 2 :
(5.21) Ju, v)=(Byiu, Y10)z 0
ce qui définit BEL(L?(T,); L?(l;)}, =0, donc ((u,v))=(u, v)a.rm+J(u,v) est elliptique.
Interprétons alors l’espace N. Pour cela transformons J(u,v). Ecrivons pour
simplifier v au lieu de y,v. On pose :
(5.22) R (u) = br C pu?) -cyw (en coordonnées locales) Q (5.23) Q(u)= > au cos (n, x).
i 0%; Alors :
Q (5.24) J(u, v) = freosas+ fou sas ne 1
La condition EN qui est par définition :
(Au, v)1e= (ui, var + (By Vivre pour tout vEÆH5(Q))
signifie, en utilisant (5.19) et (5.24) :
0) f A(u) sur L, w SON D sue | Om eur rs et M TN be LI Ù O sur REC
EXEMPLE d.
On prend V=Di.(Q) n E5:(Q) (Q étant supposé 2-régulier; cf. p. 63). La condi-
tion EN signifie alors :
u=0 sur l, aT(u)+bAu=0 sur F.
C’est la généralisation des conditions aux limites du problème IT de Pleijel [1].
Si l’on prend pour V l’espace de la page 72, c), on peut prendre pour espace Q (cf. $ 1, N° 1 et suivants) l’espace D: au lieu de J?; alors Q'= D, et sous les
conditions d’ellipticité précédentes, D+ M est un isomorphisme de N sur Dx.
On peut considérer sur €7: la forme :
(wo) = > > (aD'u, D’v)n.
e=0 Ipl,1al=e Si l’ouvert Q est m-régulier, cette forme sera elliptique sur V sous les conditions
suivantes :
> ((a+ga) Du, D'u):>æ|luff
lpl.1al=m
> ((98a + ar) Du, D’u)x>0
((Jo + go), u)n = allu($, pour tout we y.
On peut alors appliquer la théorie générale. L'opérateur À défini par cette forme est :
m AR ER DAS TDR):
e=0 Ipl,1a1=e
On peut considérer l'opérateur D d'ordre 2m, de même nature que (5.1) p. 70, défini pour EDa par (5.29) DL Da a, Die) 1Pl1al=m
les fonctions g»4 étant les mêmes que précédemment, et les fonctions a» étant réelles, m fois continûment différentiables sur Q, pouvant être non bornées on d’inverses non bornées. On prend par exemple M comme précédemment. L'espace € (A) est l'espace des fonctions 4€ L?(Q) telles que a, D’u soit dans Z? (Q) pour tout p. Tout
ceci est la généralisation du N° 4 de ce paragraphe.
