Autres problèmes aux limites relatifs a A? + M
On étudie plus complètement dans ce N° les problèmes aux limites relatifs à
A°+ M; au lieu d'écrire A? sous la forme (5.14), p. 75, on l'écrit simplement (6.1) A= AN Comme ‘(A)=A, cet opérateur entre dans la forme générale du $ 1, N° 8.
Point 1. Espace € (4).
On prend Æ=17(Q); E(A)=E(1, À) est l’espace des fonctions w dans L? (Q)
telles que A:u€L?(Q), avec la norme dont le carré est |u[f+|| Auf.
Point 2. Espace D(4).
Sur Do, les normes pl, et (wi6+1||Aoplé)? sont équivalentes (transformation de Fourier et théorème de Plancherel), donc D(A) coincide avec D3:(Q), adhérence de Da dans €%:(Q). Si la frontière de Q est de capacité positive, l’espace Do n’est
pas dense dans € (4).
Point 5. Espaces V.
Soit W un sous-espace vectoriel fermé de E,.(Q), contenant D5:(Q), soit y un opérateur frontière, yEL\ (0) FE), nubisur D, et B un opérateur hermitien dans £(F;F). On fait l'hypothèse suivante :
(6.2) il existe s > 0 assez grand tel que
(u,u)-a+(Byu, pur +sllulszellullf,
OU OU e>0, pour tout w dans W, (u, u)1=— , | P 5 2 OX; OX; L?(Q)
(voir aussi pour des considérations de ce genre le Chapitre II, $ 2).
On considère alors l’espace N(W, B, — À) des fonctions uw € W, telles que A:u€ 1h et qui vérifient (6.3) (— Au, w)rz=(u,w)-a+(Byu,7yw)r pour tout w€ W.
On 2 la
PROPOSITION 6.1. L'espace N(W,B, — A) est fermé dans E(1, A). (On peut donc prendre V—N(W,B, — A) comme sous-espace vectoriel fermé de €(4), contenant D (A)).
DÉMONSTRATION
Soit w, une suite de Cauchy dans € (1, À), w.€E N(W, B, — À). Donc wy; > w dans Z?(Q) et A-wy, > A:w dans L?(Q). Donc — Aw,+sw;=fx > —Aw+sw=f dans L?(Q). Mais il résulte de (6.2) que —A+s est un isomorphisme de N(W,B,—A) sur L?(Q), soit G(s) son inverse.
On à alors : w;=G(s)-fx, et comme f, >f dans L°(Q), on a: G(s)-fx > Œ(s)-f
dans N(W,B, — A), et nécessairement : G(s):f—w, d’où le résultat.
Espace V,: V,=N(£x, — A)(B=0). C’est donc l’espace des fonctions v € €: (Q)
© telles que Ave? et = C0 (notation de la page 75). y
EsPACE V,: V=N(D}, —A). La condition aux limites est : v—0 sur F°.
Espace V,. Soit y un opérateur de prolongement en moyenne sur [";, morceau de frontière (p. 54); B=opérateur de multiplication par une fonction b € L® (1), de
sorte que (6.2) ait lieu (si on a l'inégalité (1.7), p. 54, la fonction b peut être de
PROBLÈMES AUX LIMITES EN THÉORIE DES DISTRIBUTIONS 81 signe et de norme quelconques dans ZL®([",), cf. Chap. II, $ 2). On prend alors :
V;=N(E5:,B, —A). Conditions aux limites :
