EN 2 SUR D PURE
Point 7. L'opérateur A? sous la forme (6.1) est €(A)-elliptique. Tous les pro-
blèmes aux limites ci-après admettent une solution unique.
Point 10. Problèmes aux limites résolus.
On designe par N(V, A?) l’espace N défini à partir de la forme ((u, v)) = (Au, Av)r: + (Mu, v)z.
C’est l’espace des w € V avec Au € L?(Q) et (6.3) (Au, v)r = (Au, Av)rz: pour tout » dans V.
Pour les interprétations on utilise la formule classique :
(6.4) (Au, v) 1: = Σ Auids— fai ©ds+{(Au, Av)r: Ov ov ñ 1 à
(ce qui suffit pour les interprétations formelles). On interprète seulement dans la suite les conditions aux limites. On passe de
là aux problèmes aux limites comme déja vu.
Espace N(E£(4), A).
La condition « € N(£ (A), A?) signifie, en utilisant (6.4) :
Q (a) Au=0O et —Au=0 sur l.
0v Pour les autres espaces V,, V,, V, signalés ci-dessus, on peut de même donner une interprétation à partir de (6.4). On peut toutefois préciser. Nous aurons besoin du
LEMME 6.1. Si V=N(W,B, — A) (cf. proposition 6.1) et si w est une fonction dans L?(Q) telle que AuEL?(Q), avec
(6.5) (u, Avr: =(Au,v)r: pour tout v dans V,
alors u est dans V.
6—553810. Acta Mathematica. 94. Imprimé le 28 octobre 1955.
82 JL. BIONS
DÉMONSTRATION
Soit 4WEN(W,B, — À) la solution de —-Au,+su,=—Aut+su. Si donc w est
quelconque dans W, on a :
(6.6) (üo; W)-a + S(uo, W)re + (Byu; Yw)r =(— Au, W)r:+s8(u, w)z:.
Prenons w=v€EV. Grâce à (6.5) le 2ère membre de (6.6 vaut : (uw, —Avw+sw)z:. Par ailleurs, v étant dans VW, le 17 membre de (6.6) vaut : (w,, — Av)r:+s(us,v)r, et
donc :
(6.7) (uy—u, (—A+s)v)x=0 pour tout vEV.
Comme —A+s est un isomorphisme de V sur Z?(Q), (6.7) équivaut à (uw, — u, f)z: — 0 pour tout f dans Z?, donc w,=u, u est dans V, c. q.f.d.
On peut maintenant montrer la
PROPOSITION 6.2. Soùt V=N(W,B, — A) (proposition 6.1). Soit MN l’espace des fonctions u € V telles que AuEV, muni de la norme [ull, —|[lulf +|[[A ul) (c’est
un espace de Hilbert). Les espaces N(V, A?) et N coincident.
DÉMONSTRATION
Soit «EM. Posons Au=u,. La fonction , est dans V, donc si » est quel-
conque dans VW (il suffirait même pour l'égalité ci-après de v € W) :
(— Au; V)1: = (Uo, v)-a + (By; YV)r.
Mais w, est dans V donc dans W, et v est dans V, donc par définition de
V(=N(W,B, — A)) (— Av, Uo)1: = (0, Wy)-a + (By, yuo)r; (— Au, v)= (up, — Ad),
ie. (A?u,v)z=(Au, Av)z pour tout vE V, donc (6.8) HISNIC PONS)
et avec une topologie plus fine (ce dernier point est évident).
Mais soit maintenant « dans N(V, A?): posons Au—u,. On a (A Uo » d) rs EE (%o , AN V) za
pour tout vEW, donc par le lemme 6.1, #, est dans V, done H et N(V, A?) coin-
cident algébriquement. Mais ce sont deux espaces de Banach, dont le premier a une
topologie plus fine, done ils coincident topologiquement (théorème de Banach, cf. Bourbakt MN Cor par)
Comme conséquence immédiate :
uEN(V,, A?) signifie 0 © (b) —u=0 et —Au=0 sur l'; Ov 0v uEN(V,, A?) signifie (c) u=0 et Au=0 sur l';
uEN(V;, A) signifie
© Go) G) (d) —u—=bu sur |, —u—=0 sur FT, Au=bAu sur F, et Ov 0 Ov
Ô 3, A%=0 SIP EAN" REMARQUE 6.1.
Il reste deux problèmes non résolus; ce sont ceux correspondants aux conditions
aux limites :
o (e) u=0, Au 0 SUTSINNE 0 o) (f) —u=0; Au=0: sur].
Ov
Pour ces problèmes voir Lions [4].
