Nouvelles conditions aux limites

On considère un ouvert ( de 2”, de frontière X qui est supposée une variété indéfiniment différentiable de dimension nr —1; on munit X de sa structure naturelle d'espace de Riemann. On considère sur Q l’espace €,:(Q), et W sous-espace vectoriel fermé de £;:(Q) :

(7.1) D'(Oemesr (0) Pour u,vEW, on pose :

7 0 0 (uv) À Gare CEA ) Fe

On désigne par D(X) l’espace des fonctions indéfiniment différentiables à support

compact sur X et par D'(X) l’espace des distributions sur X. On a une application

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linéaire continue (prolongement en moyenne) de £ï:(Q) dans Li. (X)c D'(X). Soit

enfin W, un espace de Hilbert avec :

(7.3) D'XIEMTE DIR) et sur W, une forme sesqui-linéaire elliptique :

(7.4) ((p; y))w,, p, y € Wi.

On définit alors l’espace V comme étant l’espace des uE W tels que yu€EW;; cet espace contient Da (car si 4€ DA alors yu—0); pour uw,v€V, on pose :

(u, v)v = (ue, v)w + (yu, y v)w,;

muni de cette structure V est un espace de Hilbert (immédiat).

On considère maintenant sur V la forme sesqui-linéaire :

(7.5) (Qu, v)) = (u, v)w + (y w, y v))w,

et il est évident que celte forme est elliptique.

L'opérateur défini par la forme (7.5) est (7.6) A= —-A+c. L'espace N est l’espace des u € V tels que Au€ L? et qui vérifient : (7.7) (— Au, v)z=(u, v) +((yu,yv))w, pour tout vEV, L'opérateur À = — A +c est un isomorphisme de N sur L?.