ESE

vu ya) +5 (Pa 8) + Qu Pun)|< a (alé + lelollelh).

Or pour 0, assez grand, lle + oollelfé — ce (Ile flo + [fee Îlo fl 21h)

est = a [ul d’où le résultat.

On donne maintenant K € D’ (t, £(V; Q')), admettant une transformée de Laplace

en ?, et avec (M1), que l’on écrit :

(A 2) ILE (p) Ilccv.es < pol (|»l), £>&.

Cherchons des conditions suffisantes pour que A+ À (p) soit un isomorphisme

de N sur Q’. On a à résoudre :

(4.5) Au+R(plu=f, f donné dans Q", u cherché dans NW; si u est solution de (4.5), alors pour tout v dans V, on a :

(4.6) (Qu, v)+<É (p}u, 8D = <f,5)

et réciproquement, si « est dans VW, et vérifie (4.6), on montre par le procédé habituel, que « est dans N et vérifie (4.5). Donc tout revient à résoudre (4.6). Or on

peut écrire (4.6) sous la forme :

(4.7) ((u, ))1 + 00 (A0 % AV) + à ((u, v))a +

" <R (p) u, 0) — 09 (Ao %, A5 V)z: = <f, 8).

On pose :

(4.8) ((u, ))1.o = ((u, v))1 ua On) (45 U, À V)12.

Si (A 1) a lieu, on a les formules suivantes :

(4.9) C1 8) = ((J (oo) f; V)}io »

ce qui définit J'(o5), élément de L(Q'; V), puis : (4.10) (Cu, v))2 — (CA (00) %, V)}1,0, »

ce qui définit Æ(o,) élément de £L(V;V), opérateur hermitien pour la structure

((u, v))1,93 ON à enfin :

ue CR (p}u, 8) — Go (Aou Ao v)2s = ((L(p; Go) 4, 2)}n

Dans ces conditions, l’équation (4.6) équivaut à :

(4.12) À (P; Go) u — J (oo) f; où (4.13) ZX (p, 6) =1+14 (o,) + L(p. oc).

On peut multiplier les deux membres de (4.12) par (1+4/H (05)) * mais cette opéra-

tion n’est pas utile pratiquement. On est donc conduit à l’hypothèse suivante : is existe &, > £,, tel que pour £> &,, l'opérateur X (p, 6,) soit inversible dans (A 3) £L(V;V), et vérifie :

| IX (p, 60) Îlecv.n < pol (1»1) ®.

On peut maintenant démontrer la

PROPOSITION 4.2. Si les hypothèses (A 1), (A 2) et (A 3) ont lieu, alors les hypothèses (H 1) et (H2) (p. 98 et 99) ont lieu (avec b—0). DÉMONSTRATION.

On vient de voir que (4.5) équivaut à (4.12), donc, si (A3) a lieu, (4.5) admet

une solution unique :

(4.14) u=G(p)}f, pour £Ë, avec :

(4.15) G(p)=X (p, 00)" J (oo).

De plus G(p) est dans l’espace £(Q'; N). On a donc déja (H 1).

Il reste à majorer || G(p) [Lco,m. Or, par (A3), on sait déja que : 1 G (D) Îlccor: < £< pol ([pl). En outre si u=G{(p)f, alors Du+Pu+R(plu=—f, donc:

Du lle: <11fÎle +11 æ)ulle +1Pulle: < 1fÎle:+pol (pl) ler

d’où le résultat.

D On pourrait prendre plus généralement :

Lx (», ©) ‘Île mn <exp (6 8 pol (|»l).

La condition (A3) a notamment lieu si :

| ((X (P, O0) U, u)) | A I U le

et si on à une majoration analogue pour X (p,0,) . Ceci a notamment lieu si

; I : IN |A Ext) (RS RENE CNP TRS

ce qui n’est autre que (M2), p. 101.

Il résulte de la proposition 4.2 et du théorème 2.2, le :

THÉORÈME 4.1. Sous les hypothèses (A1), (A2) et (A3), l'opérateur 1@A + K* est un isomorphisme de D’, (t, N) sur D! (t, Q').

Ce théorème est le plus important pour les applications pratiques. La vérification de (Al) étant généralement triviale, et (A2) étant une simple constatation, {a seule difficulté pour passer du Théorème 4.1 aux applications pratiques est la vérificahion de (A3), qui est un problème d’inversion d'opérateurs dans un espace de Hilbert. Pour cela, on appliquera les lemmes du $ 1, N° 4, p. 90 et suivantes (ou au besoin

des résultats semblables).

Stabilité On donne une suite d'opérateurs A", définis par des formes ((u,v))* sur VxF.

On fait l'hypothèse :

( ((u, v))° — ((u, v)) uniformément lorsque « et v demeurent dans un en-

SA 1 ) | semble borné de V.

Si (A 1) a lieu, il en résulte :

| il existe 6, > 0 tel que (4.16) ((u, w))1 + oo (Ao%, Aoü)r2 > allu ||? | pour tout # E V et pour tout k.

On donne ensuite une suite de distributions KX*, éléments de D! ELiPRO)L

# 6 5 k & = admettant des transformées de Laplace en t soit À (p), holomorphe pour £>E,, &,

indépendant de k, et on suppose que

(S A 2) | K* (p) — À (D) [lecv: on < nr Pi(lpl), m0 si k—+ co.

On considère alors l’opérateur (4.17) X° (p, 00) = 1+5H* + L* (p, oo), construit à partir de ((u,v))* et X° comme X(p, do) l'est à partir de ((u, v)) et K. On suppose que

| Il existe &, indépendant de Æ tel que pour Ë>E,, X° (p, 60) soit inversible (SA 3) ! dans L(V: V), et que son inverse vérifie : IX (D, 00) * [lcev: m<e(|pl).

On a le

THÉORÈME 4.2. Sous les hypothèses (A 1), (SA 1), (SA 2), (SA 3), la distribution de Green G° de 1 & A+ K** tend, dans l'espace D! (t, L (Q'; V)) vers la distribution de Green G de 1@ A+K*.

DÉMONSTRATION

Comme les G° sont nulles pour 4<0, on aura démontré davantage que le théorème si l'on montre que G°—G dans Si,(t, L(Q'; V)).

Or, si G* (p)— transformée de Laplace de G', et si l’on pose G* (p) f=u",G(p)f=u

alors w* (resp. «) est la solution dans N* (resp. dans N) de

Au + RE (p)u*=f (resp. de

d’où l’on déduit :

| = ((uË, v)) — ((u*, 0) + CCR (p) — R* (p))u*, 5) pour tout vE V.

Or le 17 membre vaut : ((X (p, 05) (u* —u), v))1,4+ On introduit maintenant deux

opérateurs, Y* et Z*, définis par

(4.19) (ue, v)) — ((u, 0) = (FT uv) 0, et (4.20) CR (p)= Rl(p))u, > = (2 *e, 0),

de sorte que (4.18) donne :

(4.21) ui=u=X (po) TEE Z ut, NE Es.

Par ailleurs :

(4.22). nt Xp 0) LES,

110 JTHALIONS

où (4.23) 1,8» = (JF f, io définit J".

On déduit de (4.23) et avec (4.16), que IJ* flv est borné lorsque f parcourt un

borné de Q', de sorte que (4.22), avec (SA 3) donne : (4.24) Lux [1 < pol ([»1) [[fÎler, pol (|p|) étant indépendant de k. Alors (4.21), en utilisant (SA 3), donne :

(4.25) Nuls < pol (pl) (HZ Île.

Or par (SA 1), on a:

| (Qu, o))— ({u, 1 < ex [ullvllolly, ex > 0 si k co, donc BARRE ET Ensuite, par (SA 2), on a :

LCR (p)— R* (p)),u, 8>| € me P1(1P1) ullv lvlle

done | À Z" lecin < 7x pol (pl) et done :

d fu —ully < pol (|p|) (ex + 1x) || fÎlo:

one :

|| @* (p)— G (p) [coin < (ex + mx) pol (|»|),

d’où l’on déduit le théorème.