Applications (1) : Problèmes mixtes non auto-adjoints

On introduit les distributions en { suivantes :

(5.1) Ke Cr (Da 0)

On a

(5.2) Fier ré f(& % ao, pour « non entier et

(5.3) K,=—0% pour «& entier (Schwartz [1], p. 43).

L'opératur KŸ: TK,xT, de D, —+ D, est dit opérateur de dérivation d'ordre

x; pour « entier, c'est un opérateur de dérivation usuel.

On donne maintenant une famille d'opérateurs :

(5.4) DÉCLIN Sr de 0,

et g, étant strictement positif, ie. :

(5.5) (gif, fl = flfffe, c>0, pour tout fe Z?. On pose :

(5.6) R;="A5 9; As;

et l’on prend :

(5.7) K =ÿ Ke, ® R;,

où l’on suppose :

(5.8) DES EL en to 0:

PROPOSITION 5.1. On donne un opérateur À =D +P comme ax No 4, et l’on

suppose que (Al) a lieu. On donne K par (5.7) avec (5.4), (5.5) et (5.8). Alors (A2) et (A 3) (p. 106 et 107) ont lieu.

DÉMONSTRATION

Comme Â(p)—Ep%R,, (A 2) est vrai. Il reste à montrer (A3). On prend ici (cf. remarque 4.1, p. 105) :

(Qu, 0))1, 0 = (4; 2))1 + Oo (1 Ao %; A9 V}z2. Prenons alors la définition de X (p,04). On a: a Ne CR (p)u,8) = © p% (Aoû Aov)ze.

Or : (9; Aou, A9 v)r: = ((H;u,v))1x, (H; dépend de 9) ce qui définit H;EL(V:V), opérateur hermitien positif; si Æ (o,) est défini par (4.10), p. 106, on a :

u (5.9) MP 0)E LH (oi) (pc) Hp H,

et alors (A3) est conséquence du lemme 4.5, p. 93, d’où la proposition.

Il en résulte que {ous les théorèmes du N° 2 sont valables ; en particulier :

THÉORÈME 5.1 Sous l'hypothèse (A 1), la distribution K étant donnée par (O2 avec (5.4), (5.5) et (5.8), l'opérateur 1 @ (D+ P)+K* est un isomorphisme de D. ({, N) sur D. (t, Q').

A chaque exemple du Chap. I, $ 2, le théorème 5.1 fait correspondre un théorème d’'isomorphisme, ce qui résout déjà de très nombreux problèmes mixtes. Signalons

notamment :

ExEeMPzLE 5.1.

On considère l’opérateur :

RO Ô “ 0 Q A— > Z( +5 etat gt i i

Gij 1,21 on) ae où l’on suppose :

Vi; EL (Q) avec :

> (di; (x) + gi (x)) é; = Ro a>0,{;EC, presque partout dans (2. 1,7 — a, a fonctions quelconques de Z? (Q), — g,€L® (Q), avec g, (x) Z ©, > 0 presque partout dans ©.

Soit V un sous-espace vectoriel quelconque de £:(Q), contenant D: (pour des

} on prendra pour N l'espace

exemples, cf. Chap. I, $ 2, N°1); si D— D (À T;

“1 des u € V, tels que Du€L?, et tels que :

Ô @) (Du, v)r: = 2 (ou à o). -(Byu,yv)r

où F—I?(T), y—opérateur de prolongement en moyenne, B opérateur quelconque si (4.4), p. 105, a lieu, et sinon, opérateur tel que B+B* > 0, ou bien de norme assez petite. Dans ces conditions, À est un isomorphisme de D’, (t, N) sur D’, (t, L?) (et aussi

de D (t, Di) sur D’, (4, Dx)).

On considère l'opérateur PTE RE AT ET D re = ) 2 (99a DN+ 2 MD +9 1P1, 1a1=m rm ot où l’on suppose :

— Jes fonctions g,4, sont dans L® (Q); si V est un sous-espace vectoriel fermé

de Æ%.(Q), on suppose que la forme

(u, V)9 = > (9, a Du, D? v) 1:

an 1p|,lal=m est elliptique sur P.

— les fonctions &, sont quelconques dans ZL*,

— n£€L®(Q), g(x) Zzc,>0 presque partout dans Q.

Dans ces conditions À est un isomorphisme de D’, (t, N) sur D, (t, L?). Notons

que si l'ouvert Q est m-régulier (cf. p. 71), on peut remplacer l'opérateur Y a, D' Ir=m

par > a, D' où cette fois la sommation est faite pour [r| <m et non plus seulement

rm pour |r|—m; les fonctions 4, sont quelconques dans L®. REMARQUE 5.1.

On peut donner de nombreuses variantes du théorème 5.1. Par exemple on

pourra remplacer K, par :

K'=£L=!(Vp? +1, &> 0).

La démonstration est en tous points analogue.

Cas du problème de Dirichlet

On donne A—D+P comme au début de ce N°, mais l’on prend pour espace V

l’espace D (4). On considère alors une familles d’operateurs :