RAS ALLER) EE OP LA
avec (5.11) hi; = 0, ho,o Strictement positif.
On pose alors :
(5.12) R;;="A; (fi; À;), € L (D (4); D’ (4).
On prend maintenant :
(5.13) IK = > K,;, (es) R;;, où (5.14) DSTI %oo > 0.
La formule (5.13) définit un élément de D (t, £L(V; Q')), car V=D(4), Q'=D'(4). On a la
PROPOSITION 5.2 On donne A =D +P comme à la proposition 5.1 et l’on donne K par (5.13), avec (5.11) et (5.14), V— D (A). Alors les hypothèses (A 2) et (A 3) ont lieu.
DÉMONSTRATION
On a: R(p)=> p‘i R;;, (A2) a lieu. On pose cette fois : He]
((u, v))1, 0 = ((%; %))1 + So (Ro0 A0 #> Ao V)z::
8—553810, Acta Mathematica. 94. Imprimé le 29 octobre 1955.
Si alors
(hi; A; u, À; v)re= ((Hij U, %))1, 0 »
ce qui définit H;; élément de £(V; V), hermitien positif, pour la structure ((u, #))1, 5,3
on à :
(5 15) X (p, 99) = 1 + 5H (60) + (p* — 60) Hoo+, À 4 Hi,
et alors (A 3) a lieu, par application du lemme 4.5, p. 93.
Comme conséquence :
THÉORÈME 5.2 Sous les hypothèses de la proposition 5.2, l'opérateur 1 @(D + P) + K* est un isomorphisme de D’, (t, D (A)) sur D (t, D'(À)).
Signalons maintenant un cas spécial au problème de Dirichlet : PROPOSITION 5.3 On prend V=D%:(Q), Q ouvert quelconque de R,. Sur V on donne la forme :
(5.16) ((u, v)) = (9pa DU, D? v) 12 + >, = (&.D°u, D v)rs IP1,1al=m IrI+ISI<2 m1 ITI<m,1S1< m Où Ina € L(L?; I?), avec (5.17) (u, U)5,1 = 2 ((9pa + 95a) Du, D’u)x>a,||u |}, a, >0, pour tout uE Dr, et as EL(L?; L?), quelconques. Alors (A1) a lieu.
DÉMONSTRATION
On 2 :
((u, u)), = (we, w)o,1 + Z(as + ar) D° u, D’ u)z:,
et le 2°" terme est majoré en module par en Il à Cu he morme de w dans £f).
Or, on voit facilement par transformation de Fourier, que pour tout £ > 0, il existe A (€) tel que
m1 € € [Île ff + 2 (e) ff Îlo
pour tout w € D:
On prend & tel que c,e<a;. Il existe alors o,>0 tel que :
du Îln + oo fl fe — 6x fl 2 ll Ce Î 2e im + 2 (e) lle) soit Z a, [lufn, a <a-ce.
Si 0, est ainsi choisi, on a :
((u, w))1 + 00 | u 16 Z Ag Il u IE oq.f."d:
Considérons l’opérateur :
A=(=1)" ZX D'(gpaD)+ > -(—1) ID" (@s D')+
1p|,[al-m r|+1s1<2m-—1 Ir, 181<m © © Fe DDR SD:
nn + 55,201) D' Ur D)
où l’on suppose :
— les ga E L® (Q), avec (5.17), — les a, € L® (Q) quelconques, — la fonction g, est dans L®(Q), avec g, (x) = c, > 0 presque partout dans (, — les fonctions À; sont dans ZL® (Q), h, (x) = 0 presque partout. De la proposition 5.3 et du théorème 5.2 résultent que, sous les conditions ci-dessus, À est un isomorphisme de D, (t, D) sur D! (t, Dr).
Stabilité
On donne une suite de formes ((uw, v)}* sur V fixe, ((u, v))}* définissant A", avec
(S A 1), p. 108. On suppose que l’on donne:
(5.19) gj EL(L;L?), gj >=0, gi strictement positif, avec :
(5.20) gÿ => g; dans £(L?; IL?) pour la norme;
on donne ensuite, les nombres
(5.21) aÿ E(0, 1), «i >0, avec
(5.22) a > sik—+oo.
On pose :
et
(5.24) K'= ZK+@R}.
On désigne alors par (5.25) G*=distribution de Green de 1@ A*+K"*.
Sous les hypothèses ci-dessus, on montre que (SA 2) et (SA 3), p. 109, ont lieu, donc : G* tend vers G dans l’espace D'ACEAO PAT)
Le théorèmes 5.1 et 5.2 sont en général faux si certains des &; sont >1. Donnons un contre-exemple.
On prend Q=R", n=1 quelconque, D= —(1+5) À, A = Laplacien, 4,=1, Q=0. On a: E=L?=E, N=E%. Montrons que —(1+i)(1®@A)+K%@1 n'est pas un isomorphisme de D’, (t,N) sur D’ (t, L?), pour x >1. Pour simplifier on prend &«—2. Soit a une fonction donnée dans Z?; cherchons « dans D! (f, £%:) solution de
(5.26) -(+i)Au+ ue.
Effectuons une transformation de Fourier en x, y—variable duale; soit F la transformation de Fourier; c’est un isomorphisme de L£ sur L? et de €%: sur H?— espace des fonctions €L} qui sont encore dans Z% après multiplication par [yf. Soit v— Ju élément de D’ (t, D,); (5.26) équivaut à :
a (5.27) an (1+i) [yfv+5 30-68 4, A=#(a).
Résolvons (5.27) dans D, (t, D,)=£(D- (t); D,) :
1) il y a dans cet espace une solution :
= À (y) usa + (5.28) v(t)— an AO Era ee MP RARE OO Ne
| Os 0
presque partout en y, (1+4i)*—V2 exp (ix/S).
2) Cette solution est unique.
Cherchons en effet les solutions dans D: (4 D,) de |yPv+ ET
le facteur 47° (1+4)). Soit op dans D (t), v,—v x o est alors dans D. (t, D;), solution d?
de |y |? v, (€) + ae ()—0, et comme v, est nulle pour # assez petit, on a : »,(#,)—0,
d nu ()—0 pour {, convenable, donc, par Schwartz [9], p. 26, on a v, —0, donc
— 0 (on supprime
Donc si (5.27) admet une solution elle est donnée par (5.28). On aura donc démontré le contre-exemple si l’on montre que » définie par (5.28), n’est pas dans D;(t, H?). Soit done y dans D ;(t) On a:
l . *\1/ p(t) sin (2x(1+2)"|ylt)dt »
DENT RE eue 2x|y|(1+4)"" a|y|( +",
et, y sin (2x(1+1)"|y|lt) étant À croissance exponentielle en ly|, cette fonction n’est pas en général dans H, e. q. f. d.
