Applications (Il) : Problèmes mixtes auto-adjoints

On donne l'opérateur A — D+P comme au N° 5, mais on le suppose cette fois défini par une forme ((u, v)) hermitienne. On suppose que (A1) a lieu. Résumons

ces hypothèses dans :

{ la forme ((w, «)) est hermitienne, et il existe o, tel que

(6.1) , ((u, u)) + oo (Aou, Ao ur > Gllullr(c >0) pour tout ue V.

On donne ensuite :

R;="A,g; A comme dans (5.6), avec (5.4) et (5.5) (cf. p. 111), et l’on prend :

(6.2) K = Ke @ R;,

où

(6.3) Or 2 0 On a la

PROPOSITION 6.1. On donne A = D+P, défini par ((u, v)) avec (6.1), et K avec (6.2) et (6.3). Alors (A2) et (A 3) (p. 106 et 107) ont lieu.

DÉMONSTRATION

u On a: KÀ(p}= > piR,, done (A2) a lieu. Il reste à montrer (A3). On prend j=1

cette fois :

((u, d))1,0 = ((%, ®)) + Oo (9x Ao%; À Ÿ)z:

avec 0, assez grand pour avoir ainsi un produit scalaire hilbertien de norme correspondante équivalente à [fuly. On a: (9; Açu, Av) —((H;u,v)h5, Ce qui définit

H, opérateur hermitien positif de £(V; V), pour la structure ((u, v)h1,%; On à alors : ZX (p, 60) = 1 + (p* — 00) Hi+2%%H et (A 3) résulte du lemme 4.6, $ 1, p. 94.

Il en résulte que tous les théorèmes du N° 2 sont valables et notamment :

TaHéorème6.l. Sous les hypothèses de la proposition 6.1, l'opérateur 1@(D + P) + K* est un isomorphisme de D: (t, N) sur Data 0):

118 J'ILADIONS

Supposons que l’on ait, outre les hypothèses précédentes, (6.4) À (p)= À (-—p).

Exemple : K—=0”@R,;.

Alors X (p, o))=X (—9p, 0), donc X (p, o,) est inversible pour £ < —£,, et avec les mêmes majorations pour l'inverse. On peut donc définir deux fonctions p — G(p), holomorphes respectivement dans £ > £, et £ < — £&,, à valeurs dans £(Q'; N). La 1re est transformée de Laplace de la distribution QG, élément de DUO

considérée jusqu'ici, la 2°% est transformée de Laplace d’une distribution G, élément de D° (t, £L(Q'; N)) ®, nulle pour t>0. On a done le :

THÉORÈME 6.2. Sous les hypothèses du théorème 6.1 avec en outre : R (p)}— R (— p), l'opérateur 1 © (D+P)+K* est un isomorphisme de D! (t, N) (resp. de D (t, N)) sur D, (t, Q') (resp. sur D! (t, Q')).

ExEMPLE 6.1. (Analogue à l'exemple 5.1, p. 112.)

On considère l’opérateur

a à 9 pe 9 de : e dr (ur) +2 HT, 92 ou

— Gij=ÿ;: pour tout à, 7, et > 9 Ed = ho @éc — ÿ\(x) Zc, > 0 presque partout dans Q, g (x) = 0 presque partout.

Dans ces conditions, A est un isomorphisme de D: (t, N) sur D: (t, L?) (ou de

D CDR) D C0).

ExEMPLE 6.2.

On considère l’opérateur

m à D v So ) C © AMC DGA (=D ADD re 1p1, 1al=m 1Pl, 1al-» ot ot

où l’on suppose :

— les fonctions g, et g, sont comme dans l'exemple 6.1,

O Si Æ est un espace vectoriel topologique, on a : Le (4, H)=C(D, (t); E)— espace des distributions en { à valeurs dans Æ, de support en t limité à droite, où D, (t) — espace des fonctions indéfiniment différentiables en t{, de support limité à gauche, muni de la topologie de Schwartz.

— on prend Q—D':; pour espace V l’espace des « € Z7.(Q), en supposant que Q est un ouvert m-régulier, et w étant en outre dans D: (cf. Chap. I, 2 N° 5, p. 72),

— la forme :

(u, d).= 27 (00 Du) D) (ose Du, DPv)r:

est hermitienne, et on a (A1).

Dans ces conditions À est un isomorphisme de D, (t, N) sur D (t, Dr:). EXEMPLE 6.3.

Si dans les deux exemples précédents, g, —0, on peut remplacer D’. par D’ (Théorème 6.2).

2 2 s A Prenons Q— 17, et D+P comme au théorème 6.1. On montre alors par la même méthode que précédemment que

LCD IE (ai

(2) DË de re) @1.

où a >0, b et c constantes réelles, est un isomorphisme de D. (4, N) sur DAGALS:

On remplace les hypothèses g,=0, g, 0, faites jusqu'ici par : (6.5) G= 0,2 g; > 0, et les hypothèses &; E[0,2], &«, 0, par (6.6) x; E)0,2) pour tout j=1,...,u.

On a alors le

THÉORÈME 6.3. On donne A =D + P défini par ((u, v)) avec (6.1), et K par (6.2) avec (6.5) et (6.6). Alors l'opérateur 1 & (D+P)+ K* est un isomorphisme de D: (t, N) sur D: (4, Q).

DÉMONSTRATION

On prend cette fois :

((u, ©))1, 9 — ((u d)) + 00 2 (95 Aou; Ag).

Ceci définit bien, si (A 1) et (6.5) ont lieu, un produit scalaire hilbertien de norme

: :, < ! …. Je ; :

correspondante équivalente à [ufly en choisissant o, assez grand. Si l’on pose :

(95 Ao%, Aov)z:= (Hu, v)h,55 On à alors :

u ZX (p, )=1+ 2 (p*— 00) H; j=1

et (A 3) à lieu, grâce au lemme 4.4, p. 93.

On donne dans R”° un ouvert Q du type Q=Q, UQ,, Q, et Q, étant sans points commun, leurs frontières ayant en commun un morceau X, « régulier » (cf. Chap. I, $ 2, p. 55). On donne dans Q l’opérateur

| ee ê

eu)

3,510 % 0%; Où gi; =ÿn pour tout i,j—=1,.:,n, EL®(Q), avec Zg(x)tzaltl, & EC, presque partout dans Q.

La donnée de %; équivaut à la donnée de %;1€L°(Q,), et de ÿ,,2€ L® (Q,), donc, avec des notations évidentes, la donnée de D équivaut à la donnée de D, dans Q,, D, dans Q,, D, et D, étant élliptiques et auto-adjoints. On prend pour espace Q l'espace L*((Q) et pour espace V l’espace V;, p. 55. Toute fonction {€ L?(Q) est du type : f—(f1; 2), hi € L?(Q;); on considère les opérateurs g, et gs, € L(L?; L?) suivants : 1(f)=(f,0), et g(f)=(0,f). On a donc g,+g,—1, donc (6.5) a lieu. Il

@ Q 3 : / en résulte, par le théorème 6.3 que D + 2 .. 12 est un isomorphisme de D: (t, N) sur D;(t, L?) ou encore: on donne T, ED! (t, L°(Q,)), T,E D! (t, L(Q,)): il existe une distribution w—(",,%), € D; (t, N), et une seule telle que :

@ © Du, + Cr Le dix Daus + a Ta:

L'interprétation de l’espace N est donnée p. 60. Ce théorème résout un problème

mixte avec conditions aux limites de transmission.

Cas du problème Dirichlet

Les hypothèses sur l'opérateur A — D + P sont les mêmes que précédemment, mais avec V—D(A)(—Q). On peut alors prendre À comme à la page 113, avec en outre 0<w;<2 (au lieu de (5.14); on a alors un théorème d’isomorphisme analogue au théorème 5.2, p. 114).

On à des résultats de stabilité analogues à ceux de la page 115.