J. L. LIONS DÉMONSTRATION

Pour w,v€V, on prend (en choisissant 0, assez grand) :

(0), 2, = (Qu, 2)) +60 © (gs dot, Aov)2

On a alors les formules : (9, Aou, Aov) = (Hu, v)hi,5 qui définissent les opérateurs A;

hermitiens dans £(V; V) pour la structure ((uw,v)h1,,,, et par conséquent : (D: 00) = 1% 2 (P®% — 00) À; î=

d’où le théorème, par application du lemme 4.4, p. 93. Le théorème 7.1 résout des problèmes aux limites de type mixte pour des systèmes différentiels. On a bien entendu un théorème analogue au théorème 5.1, dans

le cas où la forme ((w,v)) n’est pas hermitienne (cas non auto-adjoint).

8. Applications (IV): Equation des télégraphistes généralisée

On donne l'opérateur A, défini par la forme ((w,v)), que l’on suppose hermi-

tienne; on donne 4,, et des opérateur g,,9,93, E£(L?; 1?). On suppose :

{ (A 1) a lieu, donc ((w, u)) + ol Aoullz = alu

(8.1) | pour tout uE€E V,a>0, (82) { 9, est strictement positif, g, et g; sont des | | opérateurs hermitiens quelconques.

On pose :

(8.3) R;="A5g; 4; imire 3,

et on considère :

PROPOSITION 8.1. Sous les hypothèses (8.1), (8.2), les hypothèses (A 2) et (A 3), p. 106 et 107, ont lieu, relativement à l'opérateur 1@A + KY,

DÉMONSTRATION

On pose :

((u, v))1, 0 = (4; Ÿ)) + o(91 Aoû AoŸ)z:, Co assez grand.

On a: R(p)-pR,+pR;+R,, donc (A 2) a lieu. Reste à vérifier (A 3).

Or :

(95 Ao, Av) =((H;u, D} os j—=1, 2, 8, de sorte que

X (p, Go) =1+(2 —0)H;+pH;+H,;,

où H; est un opérateur hermitien dans £(V; V), pour la structure ((u, v)),,,, H, =0;

en outre :

(Hi u, u) ho =] (92 Low; Ao 2:

< c4]| Aou ll <e (Et ha

car ÿ, est strictement positif; majoration analogue pour ((H,;u,u)h,,; on est dans les conditions d'application du lemme 4.6, p. 94, d’où (A 3) et la proposition.

Comme conséquence :

THÉORÈME 8.Il. Sous les hypothèses (8.1) et (8.2), l'opérateur 1@A + K* est un isomorphisme de D’ (t, N) sur D, (t, L?).

ExEMPLE 8.1.

On considère l'opérateur

p : 0 Ô ture D° gr D +953 + Je + 93

1pl, 1a1=m

où l’on suppose :

— (u, v)9 = (pa Du, Do) (v, u), (u, u), =allu|l}, l'ouvert Q étant m-régulier, — ÿ(x)=c; > 0, presque partout dans Q, g et 9€ L°(Q) à valeurs réelles. Dans ces conditions, À est un isomorphisme de D’ (t, N) sur D’ (t, L?) (ou de

DVD) ar D (4 Dr) 0).