Applications (V
On donne A défini par ((w,v)) sur V, <E(A), (4, étant donné), et on suppose :
Fe { la forme ((w,v)) est hermitienne, et ((u,u))=a||u||} pour tout € V ie I (autrement dit la forme ((w,v)) est hermitienne et elliptique sur PV).
On donne également :
(9.2) g€L(1?; L>?), opérateur hermitien quelconque. On pose :
et
@ L'hypothèse « () est m-régulier » est alors inutile.
124 JD ILIONS
, Ô (9.4) A=1@A + Pre On a la
PROPOSITION 9.1. Relativement à À, défini par (9.4), avec (9.1), (9.2), (9.3), les hypothèses (A 2) et (A 3), p. 106 et 107 ont lieu.
DÉMONSTRATION
On a: K(p)=ipR, donc (A 2) a lieu. On prend ici: ((w, v)h1,, = ((#; v)), indépendant de 0. Si: (Aou, Aov)r: = ((H uw, v)), ce qui définit H hermitien dans £(V; V), on à :
X (p, 6) =X(p)=1+1pH.
L'opérateur X(p) est inversible pour £>0 (resp. pour £<0) et son inverse est majoré par
x lei <1+ [2 £>0 ou EÉ<O.
On a donc démontré la proposition. Il en résulte le
THÉORÈME 9.1. Sous les hypothèses de la proposition 9.1, l’opérateur À est un isomorphisme de D',(t, N) (resp. de D’ (t, N)) sur D. (t, Q') (resp. sur D! (t, Q')).
£ par Ée dans À.
Le théorème 9.1 est généralement faux si l’on remplace 5 DË
10. Applications (VI) On donne l’opérateur A?='A A (chap. I, $ 2, N° 6), et on considère l’opérateur (10.1) A=18 AK, @A+K,@ 1; -«, &€)0, 2).
Les problèmes mixtes attachés à des opérateurs de ce genre sont en général, comme on verra dans un article prochain, des problèmes mixtes avec conditions aux limites dépendant du temps. Voici toutefois un exemple qui entre dans le cadre de la théorie actuelle.
L'espace € (A) est l’espace des w€ L? tels que AuE€ I?.
L'espace V est le suivant : on donne W, sous-espace vectoriel fermé de £!.(Q); on suppose défini un opérateur frontière : w ->yu de W dans F (—1?(T)); on donne
B, opérateur hermitien positif dans L(F; F); pour «,v dans £ï%:, on pose
eo © (u, v}a = (a v)-a = | eu).
—U 0x ‘Ox
Qt
Alors V est l’espace des € W, tels que AuEL?, et qui vérifient : (— Au, w)r=(u, w), +(Byu, yw)r pour tout wEW.
On définit ainsi un sous-espace vectoriel fermé de E(4), par la prop. 6.1, p. 80.
L'espace N est alors le suivant : c’est l’espace des 4 € V tels que A? € L? et (Mu, v)71 = (Au, Avr pour tout ve.
Ceci posé, on a la :
PROPOSITION 10.1. L'espace N étant défini comme ci-dessus, les hypothèses
(A 2) et (A 3), p. 106 et 107), relativement à l'opérateur À, défini par (10.1), ont lieu.
DÉMONSTRATION
On a: K(p)= —-p*A+p*, donc (A 2) a lieu. On pose : (Cu, D))1,0, = (A 4, À d) 12 + Go; v)22, 600 quelconque.
Ceci définit sur V un produit scalaire hilbertien de norme correspondante équivalente
à [[uly. On a:
(Æ (p)u, %)1:— oo (ue, ®)1 = p% ((u, v)} + (By, Y 0)r + (P%— 69) (u, v)r2.
On introduit alors les opérateurs Æ, et H, définis par :
Cu, 0) +(Byu, yo)r= (Hu, v))i,0, et
Cu, v)n= (Heu, d))1, 0 5
les opérateurs Æ, et H, sont hermitiens positifs. On a :
X(P,0)=1 "pH; % (pp 0) A;
donc (A 3) a lieu par application du lemme 4.3, p. 93, d’où la proposition. On en déduit le
THÉORÈME 10.1. Sous les hypothèses de la proposition 10.1, l'opérateur À, défini par (10.1) est un isomorphisme de D’ (t, N) sur D, (t, L?).
