Sur une hypothèse de M. Hadamard

Ce N° généralise et précise les considérations faites dans Hadamard [1], p. 484, 485.

Du lemme 4.1, p. 90, résulte le

Lemme 11.1. Soit æ->L(w) une application continue d’un espace topologique X (EX) dans D.(t, L(N; Q')). On suppose que pour tout EX ù existe G(w) élément de D'(t, L(Q'; N)), avec :

(11.1) L(o)*xQ(o)=08S1, " LEL(Q’; 0), el (11.2) Go) e LS) ESS LE CU N).

Si G(w) demeure dans un ensemble borné de D. (4, £L(Q'; N)) lorsque « parcourt un

compact quelconque de X, l'application w — G(w) est continue de X dans DCR L (ON).

Application

On donne À défini par la forme ((w,v)) sur V, et on suppose :

(Ha 1) la forme ((u, v)) est elliptique sur V.

Il en résulte (Théorème 2.1, p. 26) que À est un isomorphisme de N sur Q': soit G son inverse, opérateur de Green de la forme ((u,v)); GE £(Q; N). On donne ensuite K, élément de D! (t, £L(H; Q')), et on pose :

(11.3) L(w)=8® A+, ol:

On suppose que

| Pour tout « = 1, il existe G(w) (distribution de Green) avec (11.1) et (Ha 2) | (11.2), et G(w) demeure dans un ensemble borné de D: (t, £(Q'; N))

pour © Z I.

On a alors le

THÉORÈME 11.1. Sous les hypothèses (Ha 1) et (Ha 2), lorsque wæ— ©, la distribution de Green G(w) de L(w) tend dans D’, (t, L(Q'; N)) vers Ü8G, G étant l'opérateur de Green de A.

DÉMONSTRATION

Si w—0co, L(æ) tend vers Ô@A, et il est immédiat de voir que :

(ÔSA) x (0SG)=081, 1EL(Q'; Q'), et (6@G)x(0SA)=1, 1EL(N; N) donc G(=)=-086,

d’où le théorème.

ExEempPLze 11.1.

On donne

A=D+M, D = > FAigi 45, M='A,gA,,

1,1=1 avec (Ha 1), et

Kxs D'ESORS, j=1

er R; S A9; À, , avec :

HELP L) 51. L D=0, 70 (6 p. (11) et æE(0, 1); x 0;

Lee SL ; Alors —K=—Z2K,@-—R;, et R,/w— ‘Ao[®) 4, et comme Ne les mêmes pro- (@) DC) (@) (@)

priétés que g;, il résulte du Théorème 5.1, p. 111, qu’il existe G(æ) avec (11.1) et (11.2).

Montrons que l’on a (Ha 2), ie. que les G(w) demeurent dans un ensemble borné de D’ (t, L(Q'; N)) lorsque w >1.

Les distributions G(w) sont nulles pour t<0. On aura donc démontré davantage que (Ha 2) si l’on montre que les G(w) demeurent dans un ensemble borné de S:(t £(Q'; N)). Pour cela, on va majorer les transformées de Laplace G,(p) des G(w), dans l’espace L(Q'; N).

On prend ici: ((u,v)}1,9, — ((#,v)};, puisque par (Ha 1), la forme ((u, v)) est elliptique.

En se conformant aux notations du N° 5, p. 111, on a: H (00) = H défini par : ((u,v)) = ((Hu,v)),, H; défini par (9, Açu, Agv)r: = ((Hj;u, v)),, et, avec des notations

évidentes, on à alors :

Lu Xe (D, Cp) = Xo(p)=1+iH à > p* H;/w j=1

et Go(p)=Xa(p) "J, E>E—0.

Du lemme 4.5, p. 93, résulte :

1 Xs (D) Îlccevim < F

1 (p)Îlcce:n < pol (pl),

d’où l’on déduit :

polynome indépendant de k, d’où aussitôt le résultat. Le théorème 11.1 est donc

applicable.

On établira par la même méthode des résultats analogues pour les exemples des

12. Un résultat général d’inversibilité Soit À une distribution dans D! (t, £L(H; Q')). On désigne par 4* l'opérateur :

T-AxT de D.(t, H) dans D'(t,Q'). On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel fermé N de # tel qu’il existe G dans D’ (t, £L(E’; N)) avec

(12.1) AxG=6@1, 1EL(Q'; Q) et

(12.2) GxA=06081, 1EL(N;N) et enfin

(12.3) G est nulle pour {<0.

Des exemples d’une telle situation sont donnés par les résultats des N° 2 à 10. On donne maintenant une distribution L dans D'(t, £L(H; Q')) et on désigne

par L* l’opérateur T=LxT de D'(t, H) dans D! (6, Q').

Ceci posé on va montrer le THÉORÈME 12.1. Sous les hypothèses (12.1), (12.2), (12.3), et si L est nulle pour

t<a,a>0, l'opérateur A*+ L* est un isomorphisme de D'.(t, N) sur D. (t, Q').

DÉMONSTRATION

Cherchons un inverse à droite À et un inverse à gauche S de 4 +2, donc R, S éléments de D! (ft, £L(Q'; N)), avec

(12.4) (A+L)xR=0@1, 1EL(Q';Q') et (12.5) Sx(A+L)=ô0@1, 1EL(N;N).

Composons à gauche les deux membres de (12.4) par QG. Si l’on pose :

(12.6) GXL=X,x «ED, (HC(NSUN))

(12.7) (ÔS1+X) x R=G.

OrvXmestunulle: pour t<a,. donc-X'Ë= Xe x w..0 x (£ facteurs) est nulle pour

t<ka, et comme a>0, ka— + avec k, ce qui assure la convergence dans