D+ (4, CIN; N

de la série

(12.8) 0 (lo 01) Kk=0 On a (12.9) (ÜSl+X)xX—5@1, Xx(081+X)—-0@1.

Alors (12.7) donne :

(12.10) R=XxG.

Si maintenant l’on compose les deux membres de (12.5) par G à droite, en posant

(12.11) LxG=Y, MED LOF tO))).

on à (12.12) SX(0@1+7Y)=—6G.

Mais Y est nulle pour {<a, ce qui assure la convergence dans D’ (t, L(Q'; Q')) de

la série :

(12.13) PDO k=0

d’où

(12.14) S=GxY

Comme X**xG=Gx Y** on a R=S.

On a donc le théorème, avec en outre un procédé de calcul de l’inverse de

A+L, une fois connu l'inverse de À.

Soit G(L)(—=R=—S) l'inverse de 4+ZL. C’est la distribution de Green de À +L. Cette distribution ne peut en général être calculée par transformation de Laplace

en {, puisque Z peut être à croissance quelconque en {. Pour inverser 4 + Z seul

intervient le comportement de Z (nulle pour {<0) au voisinage de t—0.

ExEMPLE 12.1.

> 9 (&)®SC4 où :

On prend : L—

9—553810. Acta Mathematica. 94. Imprimé le 29 octobre 1955.

— 6"i(a;) — dérivée d'ordre n;, de la distribution en f{, masse +1 au point &, avec 4 =a>0 pour tout ?, a— +0,

— (C;—élément quelconque de £L(H; Q').