Problèmes mixtes « explosifs

On adopte les mêmes notations qu'au N° 12 : 4 est donnée dans D; (t, L(H; E")),

nulle pour t<0, et il existe N tel que

[AxG-081. 1eC(#:#) (13.1) Ceci),

la distribution de Green QG étant nulle pour {<0.

Soit a un nombre positif donné, L un espace de Banach. On désigne par (1952) D'(t<a, L)=£(D-(t<a); L))

l’espace des distributions T' en { dans l’ouvert t < a, nulles pour t < b(T) (quantité finie dépendant de T) à valeurs dans Z; D(t<a) désigne l’espace des fonctions indéfiniment différentiables dans <a, nulles au voisinage de 4, muni de la topologie de Schwartz usuelle.

Si T est donnée dans D ({, L), elle définit par restriction un élément noté 7, de D'(t<a,L). Mais réciproquement, une distribution T de D'(t<a, L) n’est pas en général la restriction à £<a, d’une distribution définie sur l’axe entier. Toutefois, si « est donnée dans D(t<a), et T dans D’ (t<a, L), x T se prolonge à l’axe entier, en une distribution notée (x 7”), définie pour € D-(t), par (x T)7 (g)=T(«p).

Soit maintenant T dans D'.(t<a,Q'), et @ dans D(t<a). La fonction :

t— QG, p(t+s)>=f(E)

est dans D-(t, £(Q'; N)), et elle est nulle pour {=4a, si g est nulle pour =, Ce qui à lieu avec a,<a. On peut donc trouver x E D(t<a), «—1 au voisinage du

support en £ de f, et l’on peut poser :

CE, Die (el) Pare

le gème

membre ayant un sens et définissant un élément de N (cf. Schwartz [6]). On a donc défini une application g—><T,f> linéaire continue de D(#<a) dans N, done

une distribution de D’ (t<a, N), notée G4T'; on a la formule :

C4 T, p> = Ti, KG, p(t+s)»).

L'application T— G£T est continue de D'(t< «a, Q') dans D'A(EIGNN) notes 7%

2 Coin JE

Soit maintenant &,; une suite de fonctions de D. (<a), «x étant définie avec les conditions :

ul si t<a—1/k, ax(t)=0 si t>a—-1/2k.

Il résulte de la définition de G4T que :

(13.3) GxkT=lim (Gx(«xT) 7), dans D,(t<a, N), k— 00

et que si Test dans D’ (f, Q'), on a :

(13.4) Gx (Ta) =(G + 102

On en déduit (pour ED (t<a,N), A%u est défini par le même procédé que cidessus) :

(13.5) A G*T=T pour tout T dans D'(t<a, Q').

En effet :

AS GS T=Ilim 4$(G x (ax T)7)a par (13.3).

Mais par (13.4), avec À, on a :

A (GX (ox T) ja = (À x GX (ox PT) )a = (ax T)S = 0x T

(l'avant dernière égalité grâce à la 1° relation (13.1)), d’où le résultat.

De même, pour tout « dans D’ (t<a, N) on a:

(13.6) Gx Axu=u.

On a donc les relations :

À” a, G?: a — jl 1 — application identique de D’ (t<a, Q') dans lui-même et Ga a, À” (ar, 1

1 — application identique de D’, (t<a, N) dans lui-même.

On a en particulier le

THÉORÈME 13.1. Sous les hypothèses (13.1), À et G étant nulles pour t<0, A*% est un isomorphisme de D'.(t<a, N) sur D'.(t<a, Q'), a 0 quelconque.

Ce théorème d’isomorphisme résout le PROBLÈME 13.1. Trouver U dans D',(t<a, H), solution de