SIC EL) Q
f la forme ((w,v)) étant donnée sur V, il existe 0,0 tel que
SG 2 ) U((u,u)), +ollulzalulf pour tout € V et DacN.
Soit À l’opérateur défini par ((w,v)). Pour « dans N, on pose : (14.1) DRE
et on considère 4 comme opérateur non continu de domaine de définition N, muni de la topologie induite par Z?, à valeurs dans Z?. Le domaine N est dense dans L? (car N = Do) et l'opérateur À est fermé c’est-à-dire : si u,->u dans L?,u, EN, et Aux —v dans L? alors uEN et Au—v; pour cela notons d’abord qu'il résulte de (SG 2), que AÀ+s est pour s assez grand, un isomorphisme de N sur Z?; soit G(s) son inverse; alors (A +s)ux =sux; — Aux =f;—su—v dans L?, donc ux = G(s)fx tend vers w—(G(s)(su—v) dans N; nécessairement u—w, d'où le résultat.
De façon générale si X et Y sont deux espaces vectoriels topologiques quelconques, on désigne par £L;(X; Y) l’espace L(X; Y) muni de la topologie de la convergence simple forte.
Ceci posé on a le
THÉORÈME 14.1. Sous les hypothèses (SG 1) et (SG 2), l'opérateur À défini par (14.1) est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe : t—X (t), représentation continue
de t=0 dans L,(L; I?) et L,(N; N).
DÉMONSTRATION
Comme on vient de le signaler, À— 4 est un isomorphisme de N sur L? pour 6 assez grand (1—o+irt); soit R(1) son inverse, élément de £(1?; N). On majore R(42) dans £(1?; L?). Soit pour cela f donnée dans Z?; R(1)f—u est la solution dans N de (A +A)u—f d’où l’on tire
(Qu, u)) +olfufi— Re (4 w)2:
d'où en choisissant 6 > 0, assez grand :
allulf$ + (o— 00) |fu1l8<||f lol lo d’où
(14.2) LR) ler rs = ne pour 6>G:
Ceci montre par application du théorème de Hille-Yosida (cf. Hille [1], Yosida [1], Philipps [1]) que 4 est générateur infinitésimal d’un semi-groupe t—>X (t) représentation continue de #=0 dans £,(L?; I>?), une fois continûment différentiable de 4>0 dans £,;(N;1?) (on note en effet que sur l’espace N, la norme [ul +|| Aull, est équivalente à la norme initiale); on en déduit que {> X(f) est continue de {470 dans £,;(N; N) d’où le théorème.
On a la relation, pour f€ N :
(14.3) XI AX (Of, > 0.
Considérons l’application
co
p—> [X(#)p(t)dt de D dans L(L?; 1?) et L(N; N). û Chacune de ces applications est continue, donc définit une distribution XCD LU EL) et ED (t L(N; N)). Si f est dans N la distribution w—X x (d,(a)@f) est dans D. (t, N) et vérifie (conséquence de (14.3)) : © — (1@ A) u + be t (a)®f
donc
À (de (a)8f)— G x (dr (a)®f) 8 3 si G est la distribution de Green pour V et B de 18A+-@1. Donc X=G
sur D,@N donc X—G dans D!(t, L(N; N)) donc aussi dans D! (t, C(L?; L?)), ce qui montre que X est dans D! (t, CL(L?; N)) et le
THÉORÈME 142. Sous les hypothèses (SG 1) et (SG 2) la distribution de Green de l'opérateur 1 @ À + Lo 1 relativement à V et B est presque partout égale à une représentation continue t— G(t)(=X(t)) de t=0 dans L;(L?; L?) et dans L;(N: N).
Notons également ceci qui peut être utile :
IG (lee: ro <exp (ct).
