Problèmes mixtes fins (D
Comme dans le N° précédent, on suppose que
(di à) Q=1(=0Q") on donne A=D+P (cf. Chap. I, p. 47), défini par ((u,v)), sur V, (F 2) sous-espace vectoriel fermé de €(4) et il existe o, > 0 tel que
(Qu, u))h +ollufé=allul} pour tout wE€ V,a>0 (M.
Il résulte de (F 2) que pour 6 = 6, D+P +0 est un isomorphisme de N sur Z2.
On considère l’opérateur
On sait que c’est un isomorphisme de D’ (f, N) sur D’ (t, L?) (Théorème 5.1): soit G la distribution de Green; si done f est donné dans Z? il existe une solution unique dans D’ (t, N) de l'équation :
(15.2) (1@(D+P)}u+ Fa
n—9ef.
On va montrer sans utilisation des semi-groupes (ce qui a l’avantage de permettre, comme on va voir, des généralisations) le :
THÉORÈME 15.1. Sous les hypothèses (F 1) et (F 2), et si f est dans N, la
solution dans D',(t,N) de l'équation (15.2) est (presque partout) égale à une fonction
® On pourrait remplacer (F 2) par (SG 2); on a pris (F 2) parce que c’est peut-être plus commode sous cette forme pour les applications.
continue, t—u(t) de t = 0 dans V. Lorsque t—0, u(t)—f dans V et lorsque t— ©, exp (—ét)u(t) 0 dans V pour tout £Z= 0.
DÉMONSTRATION
On désigne par Y la fonction de Heaviside en {(—1 pour {> 0 nulle pour { <0).
On introduit la distribution (15.3) v= Y@f, ED! (1, N).
On pose w—u—v; c'est un élément de D'(t, N) qui vérifie :
(15.4) (Ae(D+P)}w+ Lu Y@h où (15.5) h= —(D+P)f, élément de L?(Q).
La solution de (15.4) est : w—GXx(Y®@h) mais, comme Y@h admet une transformée de Laplace en t, la solution peut être calculée par transformation de Laplace ;
soit alors ©(p) la transformée de Laplace de w. Pour simplifier l'écriture, on pose :
On a donc :
(15.7) (D+P)g+pg=Rh/p, gEN, & assez grand,
d’où l’on déduit, en prenant le produit scalaire des deux membres avec g dans LÀ et
pe
séparant les parties réelles et imaginaires :
fie
(15.8) (a, 9) + Ella =R e
(15.9) (9, Daniel tn (2 (2
sl AE
Grâce à (F 2) on peut choisir o, tel que (9: 9)h + co916Zcllg > Co > 0, donc (15.8) donne pour £> 0, :
ll +(E-s)lglh<E, pl ll
d’où
Œ) On rappelle que [ln IE = fecfl6 + |lec (fr.
136 TL IDIONS
(15.10) gl < ue lle llgll, Ë>o
( désigne toujours une constante). Il en résulte que : | ((g, 9))|< ETES AU
y Ill.
et (159) dome [n/glf<e pe Alellalh+ pa lAloliele done Ilalo< pf
A l’aide de (15.10) on en déduit :
(15-11) (EAP ES [1P# lo
dr donc : la fonction 7—{|@6(£+m)||,(—1glll) est pour £>0, dans l’espace ZA (n, V) (on a évidemment une majoration sans terme en 1/ |[n| au voisinage de n=0) des classes de fonctions sommables en #7 à valeurs dans V; par transformation de Fourier en 7, il en résulte que la distribution exp (—Æ£f)w est en réalité une fonction : t— exp (—Ët)w(t), continue de 4€ R, (axe des t) dans V, nulle pOur tr cer "0; et nulle pour {<0.
Comme v(t)—f pour 4=0, et que w—u—", on en déduit le théorème.
COROLLAIRE 1. On suppose que (F 1) et (F 2) ont lieu et qu’en outre
(E 3 D+P est un opérateur différentiel à coefficients indéfiniment
différentiables.
Sous ces hypothèses, si f est donné dans Da, la solution du (15.2) est une fonction indéfiniment différentiable de t=0 à valeurs dans N: lorsque t 0,
a EC DUREE); dans N.
DÉMONSTRATION
Si l’on pose u, — 1% élément de D'(t, N),u, est solution de : Q (1@(D+P))u, + ga 0'ef.
Si alors l’on pose : v,—0@/f (élément de D!(f, N)) et Wi—U,—v, élément de D’. (t, N) qui vérifie Q) (1@(D+P))w, + LT (DAT,
équation du type (15.2) et où (D+P)f est dans Da (car f est dans Do, et on a (F 3)); donc en particulier (D+P)f est dans N; d’après le théorème 15.1, w, est
fonction continue de {=0 à valeurs dans V, et w,(t}—=—(D+P)f dans V si t—0. Or u;(t)—w,(t) pour t-0, donc “, est continue en #(=0) à valeurs dans V:; or (D+P}u(t)= —u,(t) pour t>0; on en déduit que w(t) est continue en {(t=>0) à
valeurs dans AN.
: 0 On pose maintenant : w, — —
gi" est dans D’, (t, N) solution de
(1@(D+P))u + Luy= 8":
on pose : v,—0"®/, et w,—u;—v%,; d'après le théorème 15.1, w, est continue en t à
valeurs dans V, d'où résulte que (D+P) u, est continue en é({f> 1) à valeurs dans V
et done que #, est continue en {(£-0) à valeurs dans N.
On opère de même pour les dérivées suivantes d'où le résultat.
COROLLAIRE 15.2. On suppose que les hypothèses (F 1) et (F 2) ont lieu, avec en outre (dans (F 2)) la possibilité de prendre 6, <0. Il en résulte que D+P est un
isomorphisme de N sur L?; soit G son inverse. La solution dans D’. (t, N) de © 2 ER ne MST ÉEN GET
est alors une fonction continue de t=0 à valeurs dans V, et lorsque br 0, 1(t)
— = (g) dans V.
DÉMONSTRATION
Ô & Posons : w=u—Y@u,. Alors (18(D+P))w + a = 08 — Uo), done par le théo-
rème 15.1, (f—u;) étant dans N,t—wt(t) est continue de t>0 dans V et puisque 6, <0, on a: w(t) +0 dans V lorsque £—> + ©; comme u(t)=w(t)+u,(t) pour t>0,
on à le résultat.
16. Problèmes mitxes fins (II) On suppose encore dans ce N° que (F 1) a lieu; rappelons cette hypothèse : (F’ 1) OL (= 0).
On fait ensuite l’hypothèse
On donne A=D+P, défini par la forme ((w,v)) sur VeE(4); (F” 2) on suppose que ((w,v)) est hermitienne et qu'il existe 6,0 tel que :
((u, u)) +oollullé: = allulfy pour tout wE V,a>0.
138 JW ILIONS
Dans ces conditions l'opérateur
est un isomorphisme de D'(t, N) sur D'(t, L?) (cas particulier du théorème 6.1,
p. 117). On va successivement étudier le comportement en £{ de la solution des équa-
tions :
(16.2) (1@(D+P))u + D U= "8 fo f, donné dans N, ©
(16.3) (@(D+P)u su=0@f,, f, donné dans N.
ot On commence par (16.3). On a le
THÉORÈME 16.1. Sous les hypothèses (KF' 1) et (F° 2), f étant donné dans N, la solution dans D'(t, N) de (16.3) est (presque partout) égale à une fonction une
fois continäment différentiable de t=>0 dans L?, continue de t=0 dans V; lorsque
t—0, u(t) 0 dans V, et TES dans L?.
DÉMONSTRATION
On désigne par Y, la fonction de #, égale à £ pour {>0 et nulle pour t<0; on pose : v= Ÿ,@f, et w—=u—v; w est dans D’ (ft, N) et vérifie :
Ô 1@(D + P\w + = Vo Y,@h, où h,=— (DESQN
On peut calculer w par transformation de Laplace en f{; on pose encore w©(p)—g. On à donc, pour £ assez grand : (D+P)g+p°g=h;/p". On prend le produit scalaire
des deux membres avec g dans L? et on sépare les parties réelles et imaginaires :
(16.4) (@, 9) + — n°) 1gÎo— Re É ins 9e)
(6,5) 2er lol (0h, ou) De (16.5) l’on déduit :
9 lo = SATEIENRE h ll < pr elélh
ce qui en utilisant (16.4) donne :
FAIR SC pl
donc: —{l#(£+im)| est dans L1(y, V) d’où suit que exp (—£t)w est continue en {, à valeurs dans V, et est nulle pour { < 0 (lemme sur les supports); on en déduit déjà que « est continue pour {>0, à valeurs dans V, et w(t) 0 dans V si É—0.
On à par ailleurs la majoration :
à : 1 LALE (£+ém)|]u <= Ca a lo
d . \ D s / A done : di (exp (—£t)w) est continue en # à valeurs dans Z?, d’où le théorème. Passons maintenant à (16.2). On a le
THÉORÈME 16.2. Sous les hypothèses (F’ 1) et (EF 2), si fo est dans N ainsi que (D+P)f, la solution dans D'(t, N) de (16.2) est (presque partout) égale à une
fonction une fois continûment différentiable de t>0 dans V: « (t)—f) dans V et
Lu (t) 0 dans V si t—0.
DÉMONSTRATION
a) On pose: v—Y@f,, Y — fonction de Heaviside, et w—=u—v, d’où résulte que w est dans D’ (ft, N) et solution de
19@(D + P)w + Du YO, ho= —-(D'+0Q)f, EN.
On peut encore calculer w par transformation de Laplace en t; si l’on pose : © (p) =, on à:
(D+P)g+p°g=ho/p; d'où l’on tire :
]l ((g, 9)) + Em) Ilglh= Re (o, q) 1 et énlplenn ( fie; d’où l’on déduit :
119 Îlo = ser lolh
done : m—>{l@(£+im)|lz est dans L'(y, L?(Q)), done w est continue en { à valeurs dans Z?(Q), nulle pour #4<0, d’où résulte que w est continue en {,t>0, à valeurs
dans Z? et tend vers /, dans L? lorsque t +0.
d , Re b) Posons maintenant : —w—"#,; c’est un élément de D. (t, N) qui vérifie:
dt e CHE P)u 3 ap 0 So;
& si l'on pose: v—=0@f, et w—=u, —-%, on a: (D+Pju, +=su—08(—(D+P)f) et comme par hypothèse (D+P)f, est dans N, on est dans le cas du théorème 16.1. Done w, est continue pour &>0, à valeurs dans VW, une fois continüment différentiable de 4-0 dans Z?(Q), on en déduit le même résultat pour %, d’où le
théorème.
CoROLLAIRE 16.1. On suppose que (EF 1) et (F° 2) ont lieu; on suppose en outre
ce 3 D+P est un opérateur différentiel à coefficients indéfiniment ) différentiables.
Alors si fo et f, sont donnés dans Da, les solution des équations (16.2) et (16.3) sont
fonctions indéfiniment différentiables de 10 à valeurs dans N.
DÉMONSTRATION
1) Prenons l'équation (16.2).
On pose : u, = CYLE alors w, est dans D’ (t, N) solution de
a 11 (19(D + P))u, + ET Le @fo-
Si l’on pose : ,.—0@f, et w=u,—v,, w, est dans D’ (ft, N) et est solution de
(S(D + P))w, + sun = 8® —(D+ Phjo.
Puisque f, est dans Da et (D+P) à coefficients indéfiniment différentiables, (D + P)f, est dans N, donc le théorème 16.1 donne :
u, est fonction une fois continûment différentiable de 4-0 à valeurs dans V.
: 0 : ; ’ On pose ensuite : uw, — TA c’est toujours un élément de D; (ft, N), solution de
© (1@(D + P))u, + SÉ— d'""@fo:
On pose %, =0'@fo et W—=U2—1%. On a:
(1@(D + P)}u + wy= —0 @(D+P)f,
et comme (D+P)f, est dans Do, (D+P) (D+P)f, est dans Da done en particulier dans N, et on peut appliquer le théorème 16.2, donc : w, est une fois con-
tinûment différentiable en { à valeurs dans V, donc « est trois fois continûment dif-
: : ’ @ férentiable en t,4-0, à valeurs dans V. Comme pour t>0 : (D+P)u= — Jp on voit que « est continue en {,4=0, à valeurs dans N.
On peut continuer par la même méthode pour les dérivées successives.
2) On suit une méthode analogue pour l'équation (16.3).
