Régularité des noyaux de Green
On aura besoin dans ce N° de l’espace (Ek.je défini comme suit : Soit Q un ouvert quelconque de R", Qz une suite de compacts contenus dans
Q de réunion Q(; on désigne par (L?),. l’espace des fonctions w sur Q de carré som-
. . 1/2 mable sur tout compact, muni des semi-normes : ( [ lu (x) dx) ‘; c’est un espace de Q; K
Fréchet (métrisable et complet); on désigne alors par (£%:h6e, k entier positif quelconque, l'espace des fonctions 4 E(L?),. dont les dérivées distributions D? , sont dans (L?ho pour |p|<#%, muni de la topologie la moins fine telle que les applications u—D?u soient continues de (£%:)x. dans (L?),.:; c’est un espace de Fréchet. Notons par €° l’espace des fonctions sur Q qui sont s fois continüment différentiables, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact des fonctions et de chacune de leurs dérivées d'ordre <s; €*—€. On désigne par L?+ €’ l’espace dual de L?N € (toutes les intersections sont munies des topologies borne supérieure) (cf. Chap. I, $ 1, N° 11) : toute distribution de L?+£' est somme d’une fonction de L? et d’une dis-
tribution E£’. Notons le
LEmMME 17.1 (Soboleff). Si k>n+s/2 (n= dimension de l’espace) alors (Ek.) est contenu dans E° avec une topologie plus fine. (Une démonstration facile de ce lemme est donnée par transformation de Fourier.)
On se borne pour simplifier à l'étude de l'opérateur suivant : (17.1) 1@D + K°@M!
où D= ÿ FA;gi; A; (et. Chap. I, $ 1, N° 8), M'—opérateur de multiplication
(17.2) î,j=1 par une fonction M'(x)EL® (Q), M'(x)=u>0 presque partout.
Il en résulte que À, est l'opérateur identique de L? sur lui-même : (17.3) Q=1>?.
On suppose que
on donne V sous-espace vectoriel fermé de € (4) et soit ((w, v)) une forme attachée à D; on suppose qu’il existe
R 1) | 090 tel que ((u, u)}, +o,(M'u, u)x =alluffr, a>0
pour tout € VW.
Il résulte de cette hypothèse que D +0, M! est un isomorphisme de N sur L?; soit Gy son inverse.
On suppose toujours que 0 <ax<1 si ((w, v)) n’est pas hermitienne, et que 0 <ax=<2 si ((u.v)) est hermitienne. Donc, l'opérateur (12.1) est un isomorphisme de D. (t, N) sur D’, (t, L?), soit G sa distribution de Green. De plus :
D +p* M' est un isomorphisme de N (17.4)
sur L? pour £>£,, d'inverse G (p).
On fait maintenant les hypothèses fondamentales suivantes : M est une fonction indéfiniment différentiable et D est un (R 2)
opérateur différentiel à coefficients indéfiniment différentiables.
On se propose dans ces conditions de donner quelques propriétés supplémentaires pour la distribution de Green G.
Notons d’abord qu’il résulte de John [1] et Friedrichs [1] que si « est dans N, avec (D+M)uEEa (resp. EE: (Qc) (À paramètre complexe quelconque) alors % est dans NN Ea (resp. dans NN (E5i")xe si D est d'ordre 2m).
Il en résulte, en utilisant le théorème du graphe fermé, que G@, et G(p), £- &, sont dans les espaces C(LNE; NNE) et L(L?N (Eh; NN (EZ*”"ho) pour tout k=0. On pose
(17.5) G,M'= —C'; C a les mêmes propriétés.
Donc C” est dans L(L?N (EThoe; N N (EL: "hie) et comme (faire &k—0) N est contenu
dans (£%:)10c> On a, grâce au lemme 17.1 le
LEMME 17.2. Pour (v+1)m>s+n/2, C” est dans l’espace L(N; N NE).
Montrons maintenant le
LEMME 17.3. Lorsque p parcourt un compact K quelconque du demi-plan &£> &s, G(p) est borné dans L(L?N E NNE).
DÉMONSTRATION
L'espace L?NE étant tonnelé, il suffit de montrer que G'(p) est borné dans Ls (NE; NNE) (ie. pour la convergence simple forte), donc ceci : soit f donné dans LN €, fixé; il suffit de montrer que G(p)}f—u est borné dans N NE lorsque p parcourt K. Or « est la solution dans N de (D+p* M')u=f, done
(D+o, M'ju+(p*—0,) M'u=f, d'où :
u=Gof+(p*— 09) Cu donc (17.6) u= Xu(p)f+(p*— 00)" Cu où (17.7) XL. (p)I=Gi 0) Cr =) EC Co:
Lorsque p parcourt K, X,(p)f demeure dans un ensemble borné de NN E. Pour ({u+l)m>s+n/2, (p*— 0)" C"u demeure dans un ensemble borné de £°(Q) lorsque p parcourt KX; done « demeure dans un ensemble borné de N N £* lorsque p parcourt
K et ceci quel que soit s (en prenant w assez grand) d’où le lemme.
CoRoLLAIRE 17.1. La fonction p—G(p) est holomorphe dans le demi-plan Ë > &5, à valeurs dans L(LNE; NNE).
DÉMONSTRATION
L'application p—D+p*M' est holomorphe dans tout le plan, à valeurs dans L(NNE; L?NE) et son inverse est borné sur tout compact; la démonstration du lemme 4.1, p. 90 s'applique, d'où le résultat.
Soit maintenant ££, fixé; on désigne par G: la fonction 7G(£+in) de R, (axe des n) dans C(LNE; NNE). On a le
LEemme 17.4. Pour € firé, >Æ&, G: est dans S'(n, L(P NE NN E)) et demeure
dans un ensemble borné de cet espace lorsque £ parcourt un compact (Ë> &5).
DÉMONSTRATION
Montrons d’abord que G+ est dans S’(n, C(/ NE; NNE)). Soit y donné dans D (7); on pose :
G(p)=[G(E+imp(mdm élément de L(P NE; NNE).
Il faut montrer que l’application @—>G@:(g) est continue de D(S) (—espace D muni de la topologie induite par S) dans L(L?N E; NNE). Comme la topologie de D ($) est métrisable, il suffit de montrer que si g demeure dans un ensemble B de D, borné dans $, alors G:(yp) demeure dans un ensemble borné de L(L?NE; NNE). Comme l’espace L?N € est tonnelé, il suffit pour cela que G:(y) demeure dans un ensemble borné de L,(LNE; NNE), c’est-à-dire : soit f fixé dans L? N €; il faut voir si Ge (œ)-f demeure dans un ensemble borné de NAN E. On sait qu’il demeure dans un ensemble borné de N (car G:€S'(n, C(L?; N)) — et ceci uniformément lorsque £ parcourt un
compact. Reste donc seulement à montrer ceci :
(a) G:(y)f demeure dans un ensemble borné de €. Pour cela on va démontrer :
GE (b) Pour tout entier s il existe un entier &=k(s) tel que nn f demeure dans un ensemble borné de &*° lorsque 7 varie sur R,.
Voyons tout de suite que (b) entraîne (a) : puisque les fonctions @ demeurent dans B borné dans $,
FG L ; Gi | . (+) p(n))dn
est dans un ensemble borné de &€”; ceci (en changeant k(s)) est valable pour tout s, on aura donc (a).
Reste à montrer (b). On sait qu’il existe un entier k, tel que (avec les notations du lemme 17.3) w(p)(1+7°) * demeure dans un ensemble borné de N. On déduit de (17.6) que :
U (p) X (p)f (D*— 06)" c" uw eh OPA SEEN ETS EN IAE
Le 1° terme est borné dans NN &; le 2°" dans &* si : (u+1)m>s+n/2, d’où le lemme. Considérons maintenant la distribution de Green G, élément de D’ (t, L(L?; N)); elle définit par restriction un élément (encore noté G) de l’espace D’ (t, L(L?n E; N)), de la façon suivante :
Si œ est donnée dans D, G(p) restreint à Z?N£E définit un élément de L(LNE; N) et l'application g—>G (y) est continue de D dans cet espace d’où le résultat. Evidemment G considérée dans D’ (t, L(L? NE; N)) est nulle pour t<0, et
admet une transformée de Laplace en t. Ceci posé on a le
THÉORÈME 17.1. Sous les hypothèses (R 1) et (R 2), la distribution de Green G de l'opérateur (17.1), relativement à V et B, définit par restriction à L? NE un élément noté encore G de D, (t, L(NE; NNE)).
DÉMONSTRATION
Considérons G dans D: (t, L(LÈNE; N)). Elle a pour transformée de Laplace en t, la fonction p—>@(p), holomorphe de £>£&, dans C(L?NE; N). Mais G(p) est dans L(NE; NNE), l'application p—G (p) est holomorphe de £ > &, dans cet espace (Corollaire 17.1) et par le lemme 17.4 admet une transformée de Laplace inverse en p, soit G;, élément de
SEC DUDAMTE ANNE)
donc G—G, est dans Dy(t, C(L NE: NN E)), co. q.f. d.
Il résulte du théorème précédent que l’on peut en particulier considérer G comme élément de D! (ft, L(LNE; NE)).
Considérons maintenant la forme adjointe (cf. p. 29) ((w,v))* de ((#, v)), qui définit D*, adjoint de D. Si N* est l’espace construit à partir de ((w, v))* et D° comme N à partir de ((w, v)) et D, l’opérateur 19D*+K,®M! est un isomorphisme de D.(t, N*) sur D.(t, L?); soit G* la distribution de Green de cet opérateur. L'opérateur D* est évidemment encore un opérateur différentiel à coefficients indé-
finiment différentiables, donc on a encore :
GED CLINE NONE))
et en particulier :
GED, (6 CL NE LNE), et eSk (LC (NE Din E)} Considérons alors pour g—D- fixée, TEel?+£' fixé, la forme semi-linéaire u><T, G*(p)u) sur L?NE. Elle est continue, donc définit tG* (y) T élément de L°+E,
avec :
CG'(@)T, a) =<T, (plu).
L'application : 1—'G*(p)T est continue de Z?+£€’ dans lui-même, et l’application g—'G*(g) est linéaire continue de D. dans L(L?+E'; L?+E'), donc définit : G*
élément de : ; | ! D n DALIC UPS ELITE) et également élément de 10—553810. Acta Mathematica. 94. Imprimé le 29 octobre 1955.
146 J. L. LIONS Se, (t, CI +E'; L?+E)).
Cherchons la transformée de Laplace G; (p) de ‘G* :
CG* (exp (—p#))T, &)=<T, G* (exp (—Phu>=<T, G(pju), où G*(p) est la transformée de Laplace de G*.
Ceci posé on va montrer que :
pour tout f dans L?NE, on a : Gf—-"G*f dans
