G:A=1, 1EL(W; N

DÉFINITION 2.2. L'opérateur G est dit : l'opérateur de Green de la forme (Cu, v)).

En raison de son importance, explicitons dans le cas particulier où D est dense

dans V, l’énoncé correspondant du théorème 2.1 :

THÉORÈME 2.2. Si D est dense dans V, et si la forme ((u, v)) est elliptique,

l'opérateur À est un isomorphisme de V sur V'.

Comme A est élément de £(H; Q'), on peut considérer le composé: (2.13) G:A=P, élément de L(H; N).

On a: P?=P, done P est un projecteur de H sur N. A ce projecteur est associé la

décomposition en somme directe topologique de # donnée par :

H=PH+(-P)H, ou encore : tout “€ H s'écrit :

u=Pu+(l—-?P)u,

Pu est dans N, et APu=u, donc si v=(1—P)u, on a: Av=0, on a donc la

décomposition en somme directe :

où ja désigne l’espace des # € H solutions de Au —0. Lorsque A est fixe, les formes ((u, v)) attachées à À étant variables, alors H,

est fixe et N est un supplémentaire variable de #1 dans %.

On désigne par X un espace vectoriel topologique, contenant H, et on suppose donné un prolongement de À, encore appelé A, tel que pour tout u € X, À u soit defini,

et soit dans Q”’, de sorte que :

(3.1) MEL (RERO

On peut toujours prendre X=—% mais on pourra très souvent prendre pour X un espace beaucoup plus grand que %.

On pose alors le PROBLÈME 3.1. Trouver U dans X, solution de (3.2) AU=PF, où F est donné dans Q’, avec les conditions aux limites (3-3) U-—RhEN,

où À est donné dans X. La condition (3.3) ne change pas si l’on remplace À par h+Y, y quelconque dans N.

On a tout de suite le

THÉORÈME 3.1. Si la forme ((u,v)) est elliptique, le problème 3.1, admet une

solution unique, fournie par :

(3.4) U=h+G(F- Ah).

DÉMONSTRATION

Posons : u—=U—h. L’équation (3.2) donne alors : Au=f, f—=F—Ah, donc est dans Q', et on cherche « dans N; donc, d’après le théorème 2.1, u=Gf, d’où le

théorème. La fonction U donnée par (3.4) ne change pas si l’on remplace À par h+v, vEN, car y—-GAy—0.

(D) Ceci est une définition.

Si D est dense dans V et si X est un espace strictement plus grand que V, la

condition (3.3) se réduit à :

U-hE y.

On pose la

DÉFINITION 3.1. Si D est dense dans V, le problème 3.1 est dit : le problème

de Dirichlet relativement à ((u, v)), ou à A.

Dans le cas général on pose :

DÉFINITION 3.2. Le problème 3.1 est dit : le problème aux limites relative-

ment à la forme ((u, v)).

On prend les hypothèses et notations de l'exemple 1.1, p. 23, et exemple 2.1, p. 25; A= —A+b; on suppose b > 0; alors, on constate tout de suite que la forme ((&, v)) est elliptique. On prend pour espace X l’espace des distributions « telles que Au soit dans Z?, espace que l’on munit de la topologie la moins fine telle que les applications u uw et w > Au soient continues de X dans D’ et dans L?(Q) respectivement (cet espace est beaucoup plus grand que l’espace #). Le problème 3.1 est alors le problème de Neumann (généralisé) relativement à l’opérateur — A +b, b > 0;

il admet une solution unique.