ÉQUATIONS DES DEGRÉS SEPÉHIEURS

Connaissant une racine commensurable r, divisez le premier membre de Téquation par^ — r autant de fois qu'il sera possible^ et répétez la même opération pour toute autre racine commensurable r', r''....

Mais on peut obtenir les racines ^ales en chercbant le plus grand commun diviseur D entre F (:r) = et F^(j;) = 0; le premier membre de D=0 est le produit des facteurs égaux de F{x)^ pris chacun une fois de

moins ; --^ = ne contiendra plus que des racines

inégales*

Racines incommensarables.

Méthode de Newton. — Soit a une racine approchée à j^ près : faites ^ss a dans |7^, et poussez l'approximation auprès; soit § cette valeur, substituez pk x

dans p7^9 et poussez Tapproximation à rr^n près, et

ainsi de suite. Cette méthode n'est pas toujours certaine.

Méthode de Lagrange. -^ Changez F(^)=:0 en une autre/(a7) =0| dans laquelle les racines diffèrent entre elles de plus d'une unité. Soit a la partie entière d*une

racine réelle et positive, faitesa;=:a-| — dans/l[a;)=0,

il viendra f{y) = 0, qui n'aura qu'une racine réelle et positive > 1 -

Substituez à jr les nombres 1 ^ 2, 3 • • . . , jusqu'à ce que vous parveniez à deux résultats de signes contraires,

et soit p le plus petit des nombres; faites / = § 4"'

et substituez dans f(y)s=iO] il viendra /'(z)=sO> qui

346 fOLunoNs bt bésvltatb.

donnera à son tour 2= y-J--, d'où /*(«) = 0, qui

donnera pireillemaat £1 s=s ^ ^- p et ainai de auitet de sorte que

+ ctc.

Racines imagiDaires.

Elles sont toujours en nombre pair et de la forme

a±:à)/^^. Faites dans F(a:)s=90^ d^arrasaé» da ses

racines commensurables, x=^jr'-\'Z V— 4 # ce qui don*

nera f{f, ^)+/'(r, ^) V=^ = 0; d'où f(jr, z)=0, f\x> 'Z):=0; et réiitnination entre ces deui équations fera connaître les couples de valeurs de x.

Théorème de Descartes. — Une ëquation complète ou incomplète ne peut avoir plus de racines positives que de variations. Une équation complète ne peut avoir plus de nicines négatives qtie da permaiMnees.

Par 'Conséquent, pour qu'une équation n'ait que dei racines réallesi il Ëiut que Téquation aux carrés des diflerences n'ait que des variations»

Méthode de Sturm. — Étant donnée F(4i);» 0, dé^ barrassée de ses racines égales, divisez F(:r) par F'(a;)f et soit Rj le reste de la division apriis qu'on a changé les signes de tous les termes de ce reste; diviaa^t F' (a:) par R|, et soit Bj^ le reste après changement des signes; divisez encore R| par R^ ^ et ainsi de suite jusqu'à ce qiia voua obteniez un reste numérique R«, dont <fous

ÉQUATioirs mm diguAb ftUP^BiEURS. 347

changerez aussi le signe : alors f ous aurez la suite F(;r)^ ^(j?), Rj^ R„ R„... R„.

Pour savoir combien il y a de racines comprises entre deux limites données a et p, «<[ |), substituez a dans la suite précédente, et écrivez par ordre, sur une même ligne, les signes de tous les résultats; puis comptez le nombre de variations contenues dans cette suite de lignes.

Substituez de même §, écrivez les signes des résultats, et oomplez les variations de cette «econde suite de signes : autant elle aura de variations de moins que la première, autant F(a;) = aura de racines réelles comprises entre a et ^.

Si a et ^ représentent les limites des racines , vous connaîtrez le nombre de racines réelles de Téquatioxi^

Equatioas rédproqaes.

Toute équation d^ degré impair dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficients égaux et de même signe ou de signe contraire est réciproque, et son premier membre est indivisible par x — i

ou j;^1.

Toute équation de degré pair dont les coefficients à égale distance des extrêmes sent égaux et de même signe^ si le terme du milieu ne manque pas, et^ si ce terme du milieu manque, sont égaux et de même signe ou de signe contraire, est réciproque, «t son premier nombre est divisible par x* — 1 ; alors faites

348 SOJiUTIONS ET RÉSULTATS.

(laDs F(j;) =0 de la forme vous aurez en même temps

et l'équation résultante f (^z)=i sera réduite au degré m.

éqoations binômes*

Les racines dépendent de celles de TéquatioD qu'on appelle les racines de l'unité :

Fonctions symétriques des racines des équations.

Uj bj c, dj... étant les racines de l'équation Y{x) = 0, de la forme

si Si=a -j-A -j-c -|- rf....

S, = a* -[- ^ -j- c' -|- ûP« • • .

ÉQtlATIOlfS DES DEGRÉS SDPIÎRIEURS. 340

on aura

S.4.P=rO,

Si+PS.+2Q=.0, 8^+ PSi+ QS, 4- 3 R = 0,

S(^)+PS(^+QS(,^+....+(m — <)T = 0, S,+PS(^)+QS(^ + ....+TS.4.USo=0, S(^)+PS.+QS(^)+....+TS,+US.= 0.

Si S,=é^+** + c^..,<,

on a S(a-A»)=S.S,— S(.+rt,

S(a*4'cT)=:S.S^,— S(^)S^— S(^)S^— S(^)S.4-2S(^^).

Équations da troisième degré.

Soit ^-|-/^-|- jr=0 une équation du troisième degré débarrassée de son second terme.

Si Ton fait â;=a-f-6,les valeurs de cf et de useront les racines de l'équation

qu'on appelle la réduite de Téquation proposée, et qui donne

350 sotimom et irfsvLTATs.

Si l'on fait

les trois talêars de x seront

A et B représentant des takura dont le produit soit — p.

Éqnations du quatrième degré.

Soit a^-^-paf -|- ^-[- r s: nue équation du qua* trième degré débarrassée de son second terme.

Sî l'on faita:=a-f-^ + ^» ^^ valeurs de a% A^, ^ seront les racines de l'équation

qu'on appelle la réduite de Féquation proposée ; et si Ton désigne par éy i\ é" les racines de cette équatioo, les quatre valeurs de l'équation proposée seront

x,=. yf?+ v^— v^, a;.= ^F— yf? + v^, en prenant pour

VF, i/F, i/P,

ÉQITATIOin DBS DBGBif SOPÉHIECBS. 351

trois déterminations (à cause du double signe dz qui les précède) dont le produit soit de même signe que q .

113*. 1136. dî=2, a;s=3, x^k. 0:=:— .1,2, 7.

1137. 1138, dJ=— 3, —5,8. j;=1,2, 3,4.

1143. oj^j, j, -g-, 2.

1148. a:=8, '^ + v^^»-ZJ^.

1149. «=s4, l+^HW, 1— v^ZTTô.

1180. ^=-|,ii:i^,l±vbiiî.

352 soLUTioirs et résultats.

+ elc.