SUPÉRIEURS

Nous allons exposer les résultats principaux de la théorie générale.

Soit F ( j;) = une équation du degré m^ de la forme

On peut la ramener à la forme

par la substitution de*^ à la place de x^ ce qui se (ait

en multipliant chacun des termes de F(j;}=0 par les puissances croissantes de a^ c*est-à-dire cf^ a}, ef^câ...^ oTy et changeant x en j. Les racines de Téquation transformée sont égales aux racines de la proposée multipliées par a.

La même règle sert à faire disparaître les dénominateurs de l'équation sans introduire un cofBcient dans le premier terme.

Pour faire disparaître le deuxième terme de l'équation [2]> il faut substituer / à /^ ce qui se fait à

l'aide des dérivées.

1" dérivée. F(7)=:/72^*+(m— 1) P/—*

+ (/7^-2)QJ^+...+^,

2* dérivée. F"(/) = /w (m — 1 ) j— »

et ainsi de suite.

ÉQUATfOm MM OBGlii «BVélUURS. 948

1 Chaque dérivée se forme terme à terme de la préeëdente, et la première de Téquatiop proposée, en laultipliant le coefficient par l'exposant, et diminuant TexpoMOt d'une umU*

La substitution de /*-{- A à la place de x dans T^qatttion [1 ] donne

OU liicf)

désignant ce que deviennent

quand on y change ;v en /- ou t» 4u

Si r est une racine de Téquation F(^) = df ]a forme

le premier iH»embre est divisible par x — r, et le q«io«tient

peut s*obten1r immédiatement & Taide des relations suivantes :

</=a, i^=a'r-^6, d^zUr-^-Cy dzszér-^^d^ etc.

Si a=1,

on a

a'=i, é'ïsrr-f-ô, c/srrA^r+c, d!=idr^dy etc.,

chaque terme se formant successivement du prëcédent.

Racines commensnrables.

Pour que r soit racine de F(:r) =0, il faut qu'il soit diviseur du dernier terme; qu'il divise exactement la somme qu'on obtient en ajoutant le quotient avec le coefficient du terme en x\ qu'il divise exactement la somme du nouveau quotient ajouté au coefficient du terme en a?^ et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à ajouter le coefficient du premier terme de l'équation avec le dernier quotient, ce qui devra donner une somme égale à zéro.

On essayera donc tous les diviseurs du dernier terme en ne prenant que les nombres compris entre les limites supérieures et inférieures des racines de l'équation.

Limites. — I^ limite supérieure des racines positi* ves est L=S-f-1 y S désignant le plus grand coefficient négatif. On a encore une limite plus rapprochée en prenant

n désignant la différence entre le degré de l'équation et le degré du premier terme négatif.

La limite inférieure est /= ^ . ^ , R désignant le

plus grand coefficient de signe contraire au dernier terme U.