P'R — PR7(RS'— R'S

+ (P'Q — PQO(QS^— (?S)«=0.

1 1 70* Gomoie exemples d^^mioaiioD, tioiis mpl)ellerons les problèmes suivants , qid se présentent fréquemment dans la théorie générale des équations.

P&oBLiMB. — Former une équation qui ait pour racines les sommes deux k deux desfaciiifs4'ime éqHatioii donnée d'un degré quelconque.

F(.r)=:0 étant Féquation donnée d*un degré m^ soient x^ et af' deux racines de oetle équaiion et jr la racine correspondante de Téquation demandée.

On aura pour former cette équation les trois équations

F(a/) = 0[1]. F(V0=p[2], af+af^=jr[^' De Véquation [3] on lire af=ijr — j/' ; et, substituant cette valeur dans {1], od n'aura qu'à élimsner af' entre les équations

F(^)=0, F(jK— ^)=0, ou, ce qui revint au même, à éliminer x entre

F(a:) = et F(/— a?)=0.

On peut déterminer a priori le degré de Téquation finale. En effet, cette équation aura autant de racines que Ton peut faire d'arrangements avec répéikion entre m choses prises 2 à 2; le degré sera donc m*.

Mais il est aussi facile de voir qu'on pourra abaisser

ÉQUATIOW DBS DEGRÉS ftUPiniEUBS. 355

Iç degté de réqoatioai ii l'on observe qu'elle devra renfermer les racines

c^est-k-dire qa^dle aura toutes les racines doubles de celles de la proposée. Or il est facile de former une équation qui ait pour racines les doubles racines d'une équation donnée» Il sufiBt de changer» dans oeUeMU,

4^ en |« Fonnant donc cette équatioii au^ racines

doubles, et divisant par ceHe-ci Tëquation finale obtomie par l'éKoiination, le quotient égalé à zéro, du degfénf-^m ou m(mw.1 ), n'aura plus pour racines que les sommes différentes des racines de la proposée. Mais on peut encore abaisser le degré de cette équation, si Ton observe qu'elle aura nécessairement pour racines ^-|-a^ et af'^af^ etc., c'est-à-dire que les racines seront égales deux à deux. Le premier membre sera donc un carré parfait; et, extrayant la racine carrée^ on obtiendra pour véritable équation finale

une équation du degré ^^^^"^ *

Afin de supprimer dès le commencement du calcul les racines doubles de la proposée, au lieu d'éliminer

a; entre

P(«)«0 et F(^— .«):j=0,

on éliminera entre

F(^) = et F(^— a:)— F(^)=0.

£0 efiet, cette dernière équation est 4sati8faite évi* demment par jr9^2^i par OMMéquent son premier membre est divieible per jr'^2s, Efleotuant cette dîvisioUf on obtiendra réquai;ioii du degré m(m'^i]

qui ne contiendra plus les m racines doubles de la proposée.

Si dans l'équation finale on change / en 2/-, l'équation transformée sera Téquation aux moyennes arithmétiques des racines deux à deux de la proposée.

pROBLÈMs. -*- Former une équation qui ait pour racines les différences deux à deux des racines d'une équation donnée.

Soient a/, a/' deux racines quelconques de l'équation donnée, du degré m, F(x) = 0.

On aura à éliminer oi^ a!' y entre les trois équations

Substituant dans [1] la valeur de a! tirée de [3], on n'aura plus qu'à éliminer a!^ entre

OU, ce qui revient au même, à éliminer x entre

Si l'on avait tiré de [3] la valeur de ci' pour la substituer dans [2], on aurait eu à éliminer a! entre

F(y) = et F(j/ — /) = 0,

ou, ce qui revient au même, à éliminer x entre

F(a:) = et F(jî— /) = 0.

D*où Ton voit que, pour former Féquation aux différences, on peut substituer à x indiiïéremmenta?-!"/ ou 0? — /, et éliminer œ entre l'équation proposée et l'équation résultant de cette substitution . Ce qui prouve que l'équation aux différences ne change pas quand oa y change / en — 7-, et que par conséquent elle ne contient que des puissances paires ou que des puis-

ÉQUATIOJfS DES DEGRÉS SUPERIEURS. 357

sances impaires de y. Il était du reste facile de prévoir ce résultat. Eu eflet| Féquation finale doit avoir pour racines

a/— :c" et a?— a! ou — (j/— ^),

et ainsi des autres.

Du reste y le degré de l'équation finale sera généralement du degré m% c'est-à-dire égal au nombre d'arrangements avec répétition que Ton peut faire avec ni choses prises 2 à 2. Mais comme elle doit avoir pour racines xf — a/, a? — j/', etc., on voit qu'elle aura m racines nulles. On pourra donc y supprimer le facteur /•, ce qui réduira le degré à /w* — m ou m{tn — < )•

Mais, après la suppression de ce facteur, l'équation ne contient plus que des puissances paires de /; et par conséquent si l'on y (zxXj^=^Zy on obtiendra une

équation du degré '"^^"" \ dont les racines seront les

carrés des différences des racines de la proposée, et que Ton nomme l'équation aux carrés des différences*.

* Soit l'équation

Représentant l'équation aux carrés des différences de ses racines 4if b^ Cf </•••. y par

dans laquelle n =s ■ f ^

les racines de cette équation seront {a — *)•, («. — c)\ (b — c)*...., et si l'on désigne par ^|, Jty '!•••• 1^ sommes des puissances semblables de œs racines, on aura /|-^/9=:0, Si-\'pSi-\'2gs=:0^ f9-{'P*t'^qSi-\'^^^=0f et ainsi de suite; relations qui détermineront/?, 7, r..,., lorsque xi, «t, #|*..., seront connues. Désignons par Su S|, S|.... les sonmaes des puissances semblables

358 soLonom n tubsohTAts»

On petft| dès le eommenoeaieiit du cakvày ftipprir

des racines de la proposée : ces quantités seront déterminées en fonction de ses coefficients à l'aide des relations. S,4-P=0, 8,+PS| + 2Qa=0, S| + PS,+ QSi + alks=0,... Or on peut déterminer ^i, Xt, ^g.«.. en fonction de St| S^y Si*.** an moyen de la relation générale qui suit :

=^î trïZZi ^'^*'

^,=11,84 — 4SiS^+6^,

AppucHtiôn dé ffiê roriiittlcs tnact ^cfAiliany des wtÉMÊÊÊfèf

qnatnème degrés»

!• a:*+Px + Q=:0:

tqmtàam anx carrl» àm éifiérencfts a-j-j^as»».

2* «» + Pj?» + Qx+R = 0.

Équations aux carrés des différences z*-4"/'^Hr9'~l~''^=^^* />=— 2(P« — 3Q)S

(PQ ^ a Hy — »(i* — 3 Q) (Q« >- aPK)

3® ar*-}~Q''^4~^~f'^'=^* équation du quatrième degré débarrassée de son second terme.

Équation aux carrés de» différences ^ -|- p^ -j- q»^ ^ rz* -|- sm^

rs::18Q»--lêQg— MRS

^£=170"— 24Q^s--7.id8^-f 3a»Qa%

r = 4Q»— 2.«7Q«R«— 8.a7R*S+3.4»QS*— «•4«(yS, llsss4'S^-^tf.tfQP8^4.4^^^R*QS-f4Q«S— 4<yR>-^tfR\

awr 169 m neiM^ doUm, e» ^inioMii ^ entra 1m

F(a;)=:0 et P(jî+7) — F(^) = 0,

En efle^ cette deroière ë(}uatioa est évideanoeot satiâfinîte par j^:==0^ c'est-à-dire qu'elle cootiesi le Moteur commun j que l'on pouora supprimer.

Ce que l'on peut faire Yoir d'une autre manière en rappelant que, si l'on désigne par

les dérivées snccessives de F(x), la fonction F(a:-f-y) se développe de la manière suivante :

et si Ton retranche le premier terme , on aura une équation qui contiendra y en facteur commun.

pBOBLiME. — Former FéquatioD qui ait pour raeiaes les prodnit&demc à deux des raeiaes d'une équation donnée.

ci et sé^ étant deux racines quelconques de l'équation proposée, du degré n% F(^) 3r 0, on aura à éli-* miner ce et ^' entre les équations

F(aO=0[11, F(^=0121, Jof^xW ée |d) OD tire ''^^^ ^/ *

on aura donc à éliminer ^^ entre

ou X entre

F(a^) = et f(J)=0, F(a;)==:0 et F(A = a.

360 SOLUTIONS ET R&ULTAT5.

L'équation finale sera encore du degré n^yCH parmi ses racines il y en aura m qui seront les carrés des racines de la proposée. On pourra supprimer ces m racines en prenant l'équation aux carrés des racines de la proposée, ce qui se fera en substituant ^ à x dans celle-ci^ et divisant le premier membre de l'équation finale par le premier membre de l'équation transformée.

De plus, le quotient du degré m{m — 1 ) que l'on obtiendra sera un carré parfait, car l'équation finale, après la suppression des m racines, ne doit plus contenir que des racines telles que ciaP et a!^ aJj etc., c'est-à-dire des racines égales deux à deux. On pourra donc extraire la racine carrée de ce quotient, ce qui abaissera la véritable équation finale au degré

On supprimera, dès le commencement du calcul, les carrés des racines de la proposée en prenant pour équations d'élimination

F(x) = et F0)-F(x) = O,

dont la deuxième est évidemment satisfaite par/*=^, et par conséquent sera divisible par/ — a?.

Pour avoir l'équation aux moyennes proportionnelles deux à deux des racines de la proposée, il suffit de faire dans l'équation finale / = i*.

PA(»LàifB. — Former l'éqaation qui ait pour racines les rapports entre les racines d'une équation donnée.

Sans répéter les raisonnements précédents, on

ÉQUATIONS DBS DBGR^ SUPÉRIEURS. 361

voit qu'on aura à éliminer ji eX, aP entre les équations

ou bien x entre

F(a:) = et F(a:jr) = 0.

L'équation finale sera généralement du degré mf par la même raison que précédemment; mais elle contiendra évidemment m racines égales à Tunité^ que Ton pourra supprimer en divisant son premier membre par (jr — 1)*. De plus, l'équation résultante, du degré ni{m — 1 ), sera réciproque : car k chaque racine

-j9 correspond une autre racine

-T ou -r-r-f

par conséquent l'équation finale pourra toujours être

abaissée au degré ^^"^J' — .

On supprimera, dès le commencement du calcul, les m racines égales à l'unité, eu éliminant entre les équations

F(a?)=0 et F(a;7) — F(a:) = 0,

dont la dernière, évidemment satisfaite par ^= 1 , sera divisible par / — \.

P&oBLiMB. — Former une équation dont les racines soient une fonction donnée des racines prises deux à deux d'nne équation donnée.

Soient a/, aP^ deux racines quelconques de l'équation proposée F(x)==0, et soit la fonction donnée

36S 8CUIll01!r& KM RÉ«BLT4T&.

pf^af-^jif)'j^^'af'y ftprëscnlMit la racâM oonwpoK^ dante j^ de Tëquation demaDdëe. On aura en même temps

F(x')=0[11,F(a/')=0[2l,/;(a/+*»)+jra/^=j't3ll

de [3] oo tire af^^^,

et, subslUuant dans la BccondCy il testera à fliMiair j/ entre

W=0 et P(^.)-«,

OU X entre

L'équation finale sera encore du degré m\ On pourra la ramener à une équation du degré m' — m ou /«(/K— 4)y en divisant son premier meaubre p«r W premier membre de Téquation qu'on formera en éliminant x entre F(aî) = et 2px + y^ == m, et dans laquelle on remplacera u par x. De phis^ cette équation At degré m (m — 1 ) pourra être abaissée au d^;rë

'^ <r" î ^^ ^^ racines seront égales deux à deux,

et par conséquent son premier membre sera un carré parFait.

On supprimera, dès le commencement du calcul, les m racines de la fwme 2fx -f-9^/ ^ éliminant x entre les équations

PW = et f(^)-F(x) = 0, dont la dfwiièmff» est satiâGût^ éiideoMnent par

jrsssi/»^ ça?} et par oooiéqiieDisoD pwfcr metiH bra sera cbvisiibte par z**^ 2px^^fa?.

00 rrftoadnk et la méMi» nMiîèrc le proMàne gé* nëral qui suit :

Peoblbmx. — ForaMT f éqnaftîMi doM le» raGia» soient liées à n racines quelconcpies d'une équation donnée du degré ut, par une relation donnée.

Soît toujours P(;r) = T^quation donnée; af , af^, af^...., n racines quelconques de cette équation^ et V(afy af^y a/'^,..../)=0 la relation donnée entre ces racines et la racine correspondante / de Téquation demandée ; on aura en méoie temps les équations

entre lesquelles éliminant les n quantités af^af^, a^,.... on obtiendra Téquation finale en jr qui aura pour racines les vaTeiirs qui résultent de toutes les combinaisons exprimées par la relation donnée entre n racines de réquatioD proposée.

àmaâttMUCmm -— Atam donnée réqnation

former F4qiatisa, !• an mmmm deux à den; $^ mx différences; 3® aux produits deux à deux; 4® aux rapports; 5® aux sonunes augmentées du double des produits deux à deux, des racines de réquatian proposée.

1 ^ Od sdMkiitni^— a; à la place de Jp daDft réqmition proposée^ et l'élimination dorecte de « mAre celle-ci et Téquation transformée donnera une équation finale du neuvième degré, dont on divisera le premier membre par le prettiier menalH^ de réqjuation

364 soLunoHs et késvltahs.

qui est Téquation aux doubles racines de la proposée. I^e quotient^ du deuxième degré, sera un carré parfait, doot on extraira la racine, et l*on obtiendra pour réquation finale

On pourra se dispenser de la division en éliminant X entre Téquation proposée et Téquation transformée dont on aura retranché l'équation proposée elle-même. L'équation aux moyennes arithmétiques des racines deux à deux de l'équation proposée sera

^9iji^26z — 24=0.

2* Éliminant x entre l'équation proposée et l'équa*tion obtenue par la substitution dans celle-ci dex-^x à la place de x, on obtiendra une équation du neuvième degré, qui sera divisible par j^; et l'équation finale, du sixième degré,

ne contenant que les puissances paires de Tinconnue, sera l'équation aux différences des racines.

Et réquation aux carrés des différences sera

3* L'équation aux produits deux à deux , supprea* sion faite des carrés des racines de la proposée et des racines égales, est

Si l'on fait^=i^^ l'équation

]£qOATION8 DBS DBGRlfS SCPÉniEURS. 365

sera Tëquation aux moyennes proportionnelles deux à deux des racines de la proposée.

4* L'équation aux rapports, toute réduction faite, est

5* L'équation demandée correspondant à la relation donnée

entre deux racines quelconques de la proposée est ^55/+818^— 3536 = 0.

Il en serait de même si Ton voulait former une équation qui eût pour racine une combinaison donnée entre les racines de deux ou plusieurs équations données.

Problème. -* Étant donaées deax équations F (x) =s 0, F'(r) ^= , de degrés quelconcpes m, m\ former uae éqaation qui ait pour racines: 1** les sommes deux k deux; ^ les différences deux à deox; 3** les produits deux k deux; 4* les rapports entre les racines des équations proposées.

Pour le cas de la somme^ par exemple , on aura à éliminer xétjr entre les trois équations

F(*)=:0, PW=0, xAç-r^z,

et^ par conséquent, à éliminer x entre les deux équations

et réquation finale en z, du degré /tia^ généralement, sera Téquation aux sommes deux à deux des racines des équations proposées.

366 SOtOTIOVf BT «féULTàSV.