i. a?=2fi!*z:l

R^le générale pour mettre un problème en équa tioD :

Représentez par x t inconnue du problème; indiquez sur cette lettre, à F aide des quantités données , les opA^tioM que vous feriet sur ce nombre, s'il était eonnUf pour vérifier s'il satisfait aux conditions de t énoncé, et exprimée que le résultat fittat est égal au résultat indiqué par Nnoneé hU.méme,

180 SOLUTIOnS ET RÉSULTATS.

ExBMPLB. — Partager 1 3 en deux parties telles, qne le double de la plus grande, ajouté an triple de la plus petite, donne pour somme 34.

Prenons arbitrairement 7 pour une des parties , Tautre sera 13 — 7=6| et vérifions si ces deux nombres satisfont au problème. Le double de 7 est 14, le triple de 6 est 18; 14-f-18=32; mais l'ënoncë ne donne pour somme que 31 . Les deux parties ne satisfont donc pas aux conditions de l'ënoncë.

Soit en général x une des parties , Tautre sera 13 — a:; le double de la première sera 2;r et le triple de la seconde 3(13 — x) ou 39 — Zx\ la somme sera 2:r-|* 39 — Zxy et conune elle doit être égale à 31 , on aura l'équation

d*où — j;= — 8,

ou :r=8,

et l'autre sera 13 — 8 = 5.

En effet, le double de 8 ou 1 6 ajouté au triple de 5 ou 1 5 donne précisément pour somme 31 •

PaoBLÈMB. — Un courrier, faisant 9 myriamètres en 4 henres, était parti de Paris depuis 8 heures, lorsqu'on a envoyé après lui un autre courrier chargé de lui remettre un ordre dans les 24 heures: quelle doit être sa moindre vitesse?

Il suffit d'exprimer que le deuxième courrier atteindra le premier au bout de la 24* heure. Soit x la vitesse nécessaire, c'est-à^ire le nombre de myriamètres qu'il doit parcourir par heure afin d'atteindre

ÉQUATiOlVS DU PREMIER DEGRÉ, 181

le premier courrier à la fin des 24 heures; l'espace qu'il aura parcouru sera expricné par 2Ax. Or le premier courrier avait déjà marché 8 -|- 24 =32 heures avec une vitesse de 9 myriamètres en 4 heures, ou de f myriamètres par heure; Tespace que le premier courrier a parcouru avant d'être atteint sera donc |X32==72 myriamètres. L'équation du problème sera donc

24a:=72, d'où x—^.

Le deuxième courrier devra donc faire au moins 3 myriamètres par heure^ afin d'atteindre le premier dans les 24 heures.

Il est évident qu'en faisant un plus grand nombre de myriamètres par heure, il l'atteindrait plus tôt.

PnoBLiMB. — Un bassin est rempli par deux fontaines d'où l'eau s'échappe avec des vitesses inégales, au point que l'ane d'elles mettrait à le remplir 2 heures de plus que l'autre. Si on les laissait couler ensemble, il ne leur faudrait pour remplir le bassin que les I du temps que met celle des deux qui donne le plus d'eau.

Combien faut-il de temps à chaque fontaine coulant seule, aux deux fontaines coulant ensemble, pour remplir le bassin ?

Soit X heures le temps que mettrait à remplir le bassin, si elle coulait seule , la fontaine qui donne le plus d'eau. L'autre fontaine mettra x-^2 heures; et,

en 1 heure, la première fontaine donnant -, c étant

la quantité de litres d'eau que contient le bassin , et

la deuxième — rrs» ^^^ deux fontaines coulant en-

semble donneront en 1 heure --| — ^j^î et par

182 «OLUTIOM BT usniiTAn.

coM^uent, pour remplir le bassin, o'm&àkIîto pour donner e litres d'eau ^ elles mettront

ou » > ■ , i\ iMllfM*

Or, d'après Véïumcé^ ce ten^ps doit être IfS | da 47} on

aura donc Téquation

d'oui après avoir supprimé les facteurs commuos X et 2,

et iT = 1 •

L'uoe des fontaines met donc 1 heure i Tautre 3; toutes deux ensemble mettent | d'heure pour remplir le bassin.

PMBubfB. — Un nombre de trois chiffres «si td qua la somme de ses chiffres est égale à 1 5 ; qua iss «diifib'es 9aat an proporûmi par différence continue ; enfin que le nombre renversé, diminué de sa, est égal au double da ïM»abre loi-même. Quel M ce nombre?

Soit X le chiffre des ceotaines; puisque las chifTites ionC en proporlioq contiime par différepce, le double du chiffre des dizaines est égal à la somme des chiffres des centaines et des unités, et par conséquent le triple du chiffre des disaines est égai à la somme 46 dtfs trois chiffres. Le chiffre des dizaines est donc 5^ et celui des unités sera représenté par 10 — a; ; la trol-

iQUATIOlfS DO PREHIER OBCHÉ. 1W

sième condition de Ténoncé fournit Immédiatement réquation

d'où Von tire

2970?= 891 et x=zS; d'où 10— arrsT; et b ttPKibM demtiKU m 357.

PROBLàMB. — Eo revendant nn meuble S91 francs^ j'ai gagné 15 pour 100 sur le prix d'achat. Combien m^avait-il coûté ?

Soit X le prix d'achat^ lé^ 1 S pour 1 00 seront expri-

M mf

mes par 7^9 et par conséquent Téquation du problème sera

d^où 11 5a? s 391 00,

et j?=:340.

PaoBLim. — Quel âge aTez-YOOs? demandait nn fils à son père. — Dans un an, répondit celui-ci, j'aurai le triple ée ton Ige» et je à!m aurai plus4{«e le double émê 19 am*

Quel est l'âge du père et celui du fils ?

Soit X l'ftge du fils, La première condition servira à exprimer TÀge du père, qui sera évidemment 3(j;-f-1) — 4; et la deuxième condition foitfnra l'équation

d'où l'on tire 3x+21 =2a?-f38,

et ,a;;=3l7.

184 SOLUTIONS ET RESULTiLTS»,

Par conséquent Tàge du père

PBOBLàm. — On a p kilogrammes d'eaa de mer qui contiennent pf kilogrammes de sel : combien faut-il y ajouter d'eau douce pour que P kilogrammes du mélange ne contiennent plus que r kilogrammes de sel ?

Soit X la quantité de kilogrammes d'eau douce à ajouter : le mélange P'\-x contiendra toujours//' kilogrammes de sel| et par conséquent P kilogrammes

du mélange contiendront --£- de sel; et, d'après

l'énoncé , on aura l'équation

— £— =r; dou x^=— — —.

PaoBiiàMB. — Un capitaliste fait valoir deux capitaux, l'un c à / pour 100 par an, et, n années plus tard, l'autre d kt pour 100. Dans combien de temps ces deux capitaux auront-ils rapporté, en intérêts simples, une somme égale?

Soit X le temps demandé à compter du moment où le capital c a été placé. L'intérêt de c pour 1 an étant

T^y pour o; années la somme rapportée par le capital

cserajjjj.

D'autre part, le capital d rapportera pour les or — n années la somme — ; ^^ ' .

lUU

L'équation du problème sera donc .

cix c^i\x'~-'n)

1Ô5 ~ÏÔ5 ^

dou ^ = v^ï '*

Cl Cl

iQUàTIONS DU PREMIER DBGR^. 185

Cette valeur montre que, si les taux sont en raison inverse des capitaux, il faudra un nombre infini d'années, c'est-à-dire que le problème est impossible.

PnoBLJEifE. — Un marchand a acheté une pièce d'étoffe qu*il paye à raison de p francs le mètre. La pièce contient n mètres de plus qu'il ne croyait, et il la revend à p' francs le mètre ; à ce marché il perd r pour 100, Combien de mètres la pièce contient-elle?

Soit X le nombre de mètres que le marchand a cru acheter. Le prix d'achat sera px et le prix de vente f/ix-Yn).

Puisque, d'après l'énoncé, le marchand perd r pour 100, le rapport du prix d^achat au prix de vente

sera égal à |qq^ » et par conséquent l'équation du

problème sera

px 100

j, > 100/fi/-

d ou X= ,ooO>-/)-.fr ?

et la pièce contient en réalité

On peut encore mettre le problème en équation en exprimant que la différence entre le prix d'achat et le prix de vente est égale aux r pour 1 00 du prix d'achat, c'est-à-dire

px^ff{X'\'n)^^x ce qui donne la même valeur que précédemment.

1S6 flOLUlfOm ET HiSULTAn.