Si l'on fait

on trouve ^^=^k — A " = 5 — ^>

Problèmes da premier degré à plusieurs inconnues.

La mise en équation des problèmes à plusieurs inconnues est soumise à la même règle générale précédente. Exprimez par x,^, z^ etc., les inconnues, et opérez sur elles comme si vous vouliez vérifier les nombres que ces lettres représentent : vous obtiendrez, par la comparaison des résultats avec les données du problème, autant d'équations qu'il y a d'inconnues.

214 SOLUTIONS ET bAsULTATS.

PROBLivB. — Quels sont les deux fiombres tels, qu'en cherfshnit leur plus grand commun diviseur par la méthode ordinaire , la première division partielle donne 3 pour quotiftnt et pour re«t6 6 ; et que le plus grand commun diviseur trouvé par la deuxième division soit précisément égal à U SO* partie du plus grand nopfbre ?

Soient x ély les deux nombres. La première coudi tion fournira sur-le-champ la relation

et la deuxième 6 ^^ 55'

Substituant dans la première la valeur de / tirée de la seconde, on trouve

d'où X = 60,

et par conséquent ^=18.

PaoBiliia. — Deux ouvriers ont fait 204 mètres d'ouvrage, le premier ayant travaillé 7 jours et le second 8 jours. Ils ont fait ensuite 300 mètfes, le premier ayant travaillé iO jours et le second 12 jours ; combien chaque ouvrier faisait-il de mètres d'ouvrage par jour P

Soient x le nombre de mètres d'ouvrage que faisait par jour le premier ouvrier ; / le noqibre qu'en Oiipait le second,

On aura pour équations d^ condition

Ta: -[-8/= 204, 10^+12/ = 300.

Multipliant la première équation par 40 •! la

ÉQn47fa«4 DU FUBMIU PBGHt. 215

^d^in^imi» pw 7* M vetraiiehaDt rasuit# le praotter pvoëuît du seoendy on trouve

4/î5P5 60| d'où jrs»46.

Par la substitution de cette valeur dans l'une ou dans l'autre des ëquations du problème pn oblleqt

PKOUiiMs. — Deux fcptainM poiilent dans un bassin de la contenance de i 6 mètres cubes.

On a laissé couler la première seule pendant 5 heures et la deazième seule àjnnêi pendant 7 heures 4i •t ell^s qbI donné BIA litres. Une seconde fois la première a coulé seule pendant 8 heures (y la seconde pendant 6 heures, et elles ont donné 345 litres. Si op \ps Ifiisse couler ensemble , eq pofpbii^ dç t^p# li bM>>Q sera-t-il rempli?

Soient x et/- les quantités de litres d'eau que chaque fontaine, coulant seule^ donne en 1 heure; il est évident qu'on aura pour déterminer ces quantités

6aî + 7|y«s326,

4'oi| Yçm tire, p»r ype éliramatip» (9cUe^

JVS.20, fss30.

Or, en 1 heure , les deux fontaines coulant ensemble , donnent 20 rf- 30 =q 50 litres ; par conséquent elles mettront à reniplir le \>skS9in

216 soLUTions kt résultats.

PaoblAmb. — Un marchand a da vin de trois qualités différentes, à 2 francs, 1 fr« SO c, 1 franc le litre. Il voudrait en faire un mélange de 100 litres, en employant autant de la troisième sorte que des deux antres ensemble, et qui ne revint qu'à 1 fr. 35 c. le litre; combien doit-il en prendre de chaque espèce?

x^ jr^ Zy ce qu'il doit prendre de la première, de la deuxième et de la troisième qualité. On aura les trois équations

Les deux premières équations donnent 2z = <00; d'où z = 50.

Alors la première et la troisième équation se rédui

sent à

d'où Ton tire ^=20, / = 30*

Pboblémb. — Trois fontaines coulent dans un bassin. Les deux premières coulant ensemble ont donné i 75 litres d'eau en 3 heures |; la première et la troisième, 280 litres en 4 heures; la deuxième et la troisième, 375 en 6 heures J. La capacité du bassin est de 18 mètres cubes ; en combien de temps le bassin serat-il rempli si les trois fontaines coulent ensemble ?

Soient j?, /, z la quantité de litres d'eau fournie en 1 heure par chaque fontaine coulant seule, on aura les trois équations

il'où

x = ZOy 7=20, z=40.

Les trois fontaines, coulant ensemble^ donnent donc, en 1 heure, 30 -|- ^0 -f- 40 = 90 litres, et par

conséquent elles mettront — r^ pour remplir le bassin, c'est-à-dire 200 heures.

PROBLiMB.': — Un Dombre de trois chiffres est tel, que la somme de ses chiffres est i 6 ; et, en renversant ce nombre, et rajoutant au nombre renversé, on obtient 1211, et 267 en le retranchant* quel est ce nombre?

j;,^, z, les chifTres des centaines, des dizaines et des unités; on aura pour exprimer le nombre 1 00a:-|-1 0/-|-j5,et le nombre renversé 1 OOz-j-t OjT'^x; les trois équations seront

(100z+10^-t-^) + (100a:-f10/-fz) = 12<1, (100z-f107-f^) — (100a:+10r+^)=297*.

On commencera par réduire les deux dernières équations, et Ton trouvera sans difficulté

Le nombre demandé est 457.

* On remarquera que la différence est un multiple de 9 : en effet, la différence entre deux nombres composés des mêmes chiffres et en mcme nombre , quel que soit Tordre dans lequel ils sont écrits, est toujours divisible par 9.

218 ^l^pTlpHfl OT nji|»U|^TAT».

P&OBLàME. — Un marchand a des vins de quatre qualités difféT rentes.

Il en fait un premier mélange, composé de 2 litres de la première, 3 litres de la deuxième, S litres de h trqisièfpe, 10 libres de la quatrième, et le litre du mélange revient à 2 fr. 10 c;

Un second mélange composé de Y litres de la première, 8 litres delà 4eusième, 10 litres de la troisièipe, 15 Utre§ dç Ifi qqatnèoiei revient à 2 fr. 20 c. le litre;

Un troisième mélange, composé de 10 litres de la première, 5 litres de la deuxième, 15 litres de la troisième, 20 litres de la quatrième, revient à 2 fr. 24 c. le litre;

Enfin un quatrième mélange, formé de 1 8 litres de la première, 17 litres de la deuxième, 40 litres de la troisième, 25 litres de la quatrième, revient à 2 fr. 29 c. le litre.

On demande le prix de chaque qualité.

Soient Xf y^ z, u les prix des première, deuxième, troisième et quatrième qualités de vin. I^e premiei mélange , compose de 2 -|- 3 "|- 5 -|- ^ = 30 litres, à 2 fr. 10 c. le litre, coûte en tout 42 francs.

Le deuxième mélange , composé de 7-(-8-)-1 0-\-\ 5 =40 litres à 9 fr. 20 c,, coûte 88 fragçç.

Le troisième mélange, de 50 litres à 2 fr. 24 c, coule 4 13 francs.

Enfin le quatrième mélange, de 100 litres à 2 fr. 29 c, coûte 229 francs.

On a donc les quatre équations

d'où Ton tire

x = Z, r = 2, z*=2,40, iiai1,80.

iQUÀTKHfft DU PREMIBR DIORA. 21*^