Le cube dont le côté est

784« Le carré dont les sommets touchent les milieux du carré proposé.

785. Le cylindre qui a pour rayon de base et pour hauteur la moitié du rayon de la base et de la hauteur du cône.

ÉQUATIOHS IHDiTBBMIiniBft* 287

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES DU PREMIER ET DU DEUXIÉBiE DEGRÉ, EN NOMBRES ENTIERS ET POSITIFS.

Quelques exemples suppléeront au défaut de la règle^ qui ne peut être exprimée d'une manière générale.

Premier exemple. — Soit à résoudre en nombres entiers et positifs l'équation

Je prends la valeur de l'inconnue qui est affectée du moindre coefficient, et effectuant la division autant que possible, j'obtiens

Pour que j^ soit un nombre entier, il faut que ■ u -. soit aussi un nombre entier. Je Eus donc

Je pose pour la même raison -^— =f; dou t=i — — -=3r — \ ^.

Et enfin posant --^ = n^

il vient /s=:3/i — 2;

288 BOLUTlOlfS ET RÉSI3LTATS.

d'où

et y = x — 2'{-t=27n — 25.

Les valeurs générales de a; ei de ^ sont donc

dans lesquelles on donnera à n toutes les valeurs entières et positives /2 = 1 ^ 2, 3.... à Finfini; d'où résulteront une infinité de valeurs pour x et pour y.

Lorsqu'on connaît un couple de valeurs convenables a et p d'une équation ax-^by^nc^ les valeurs générales sont

(V=a-[-6^, j^ = p — «/ ou xz=za — bt^ j^=p-|-a/.

Ainsi 3;r-{-7^=39 donne sur-le-champ

(Voir le n* 1039, fractions continues.)

Deuxième exemple. — Résoudre en nombres entiers et positifs les équations

La première donnex=15 — 2x — 3/; substituant dans la deuxième et réduisant, j'obtiens

4a; — 13j -1-35=0; d'où ^ = -^"5 — =3j^— 9 + ^-f-.

Faisant ^^^ = ^, j'ai

/=4^— 1, ar=3/— 9-t-/=13/— 12, et a=42— 38^.

ligcATioNs iNDéiERMiiniss. 289

Les valeurs générales sont donc

x=i3t—i2, y—kt-^i, 2=42— 38^

Od ne peut donner à t que la valeur ^ = 1 ; le problème n'a qu'une solution

Troisième exemple . — Résoudre en nombres entiers et positifs l'équation

J'ai d'abord

je fais z — ^+2=3r,

et r—^i

alors il vient

valeurs générales des inconnues en fonction de deux indéterminées t et ^.

Quatrième exemple. — Résoudre en nombres entiers l'équation du deuxième degré

^xy — 7a:— 7^ = 5.

Résolvant par rapport à /, il vient

^~3x — 7~3"t"ax— 7 -^

290 aourrions bt Riiivi.TAW.

Il faut donc V que 3a:*^7 «oit un des di^iiMura de 64;

2'' qu9 74*17117 ^^^ ^ mulUple de 3. Pour satisfaire à la première condition^ il faut que Ton ait pour Sx — 7 une des valeurs suivantes :

Pour satisfaire à la seconde condition, il faut qu'en dinMint 64 par Tun de œs nombres, le quodant, augmenté de 7, soit un multiple de 3*

Les seules valeurs admissibles sont