V7, 4— VT

USO. *=§, i±^i, i^î.

1181. *=i,3, ir^rf :z5=^.

H 33. *=§, ±y / 3 +722, dr/âWÏl.

+ etc.

1+ î+ -j-etc.

+ etc.

+ etc.

-fetc.

jr=2, -2, |, -|, Vê, 1,-1;

*= v^Zg, — y— 6, 1,-1, ,. = yCl6, \f^6, — 1> 1 •

1 104. Équations finales :

Xr-W-*)Cr-3)=o,

1165. Équations finales :

1166. .x— ±3, ±1, ± v 6, =pv ; — 6, zfc1,±1,

1168. L'équation finale en jr sera

(PR'— P'R)»-|-(QP'— PQ'XQR'— RQ')=0.

(P'S— PS') 8 +[2(P'Q— PQ'XRS'— R^-f^R— PRO(QS' — Qfc)l (P'S — PSf) — (P'Q — PQO (RS'— R'S) (QR! — Q?R) — (FR — PR7(RS'— R'S>f(P r Q — PQf)(QS'

— cys)»=o.

1170. Comme exemples d élimination , nous rappellerons les problèmes suivants, qui se présentent fréquemment dans la théorie générale des équations.

Problème. — Former une équation qui ait pour racines les sommes deux à deux des racines d'une équation donnée d'un degré quelconque.

F(x)= 0 étant l'équation donnée d'un degré m, soient ;i J et a? deux racines de cette équation et y la racine correspondante de l'équation demandée.

On aura pour former cette équation les trois équations

F(.t')=0 [1], *K)=0 [2], J+J=jr [3].

De l'équation [3] on tire ai=jr — x s, \ et, substituant cette valeur dans [1] , on n'aura qu'à éliminer x 3f entre les équations

F(a*)=0, FCr-a*)=0,

ou, ce qui revient au même, à éliminera entre F(*)=0 et F(j— .r)=0.

On peut déterminer à priori le degré de l'équation finale. En effet, cette équation aura autant de racines que l'on peut faire d'arrangements avec répétition entre m choses prises 2 à 2 ; le degré sera donc m*.

Mais il est aussi facile de voir qu'on pourra abaisser

le degré de l'équation , si l'on observe qu'elle devra renfermer les racines

.t/-!-.*/, .x/'-|-.r", etc. , ou 2^, 2^', etc. ;

c'est-à-dire qu'elle aura toutes les racines doubles de la proposée. Or, il est facile de former une équation qui ait pour racines les doubles racines d'une équation don-

née. Il suffit de changer, dans celle-ci, x en -. Formant

donc cette équation aux racines doubles, et divisant par celle-ci l'équation finale obtenue par l'élimination, le quotient égalé à zéro , du degré m* — m ou m{rn — 1), n'aura plus pour racines que les sommes différentes de la proposée.

Mais on peut abaisser encore le degré de cette équation , si Ton observe qu'elle aura nécessairement pour racines d-\-a!' et.x ; '-|— etc., c'est-à-dire que les racines seront égales deux à deux. Le premier membre sera donc un carré parfait ; et , extrayant la racine carrée, on obtiendra pour véritable équation finale

une équation du degré m ^ m ^ l \

Afin de supprimer dès le commencement du calcul les racines doubles de la proposée , au lieu d'éliminer x entre

F(.r)=:0 et FO— *)=0,

on éliminera entre

. . F(.r)=0 et FCr— x)— F(.r)=0.

En effet, cette dernière équation est satisfaite évidemment par y= 2x ; par conséquent son premier membre est divisible par y — 2x. Effectuant cette division, on obtiendra l'équation du degré m(m — 1)

qui ne contiendra plus les m racines doubles de la proposée.

Si dans l'équation finale on change y en 2j, l'équation transformée sera l'équation aux moyennes arithmétiques des racines deux à deux de la proposée.

Problème. — Former une équation qui ait pour racines les différences deux à deux des racines d'une équation donnée.

Soient x 1 , x 11 deux racines quelconques de 1 équation donnée, du degré m, F(x)=0.

On aura à éliminer .z/, entre les trois équations

Substituant dans [1] la valeur de J tirée de [3], on n'aura plus qua éliminer 3? entre

F(.*")=0, wp+&M* t ou ce qui revient au même , à éliminer x entre F(x)=0, F(x+y)=0.

Si l'on avait tiré de [3] la valeur de a? pour la substituer dans [2] , on aurait eu à éliminer x 1 entre

FO0=O et F^— jr)=0,

ou , ce qui revient au même , à éliminer x entre

F(x) =0 et F(x— y) = 0 .

D'où l'on voit que, pour former l'équation aux différences, on peut substituer à x indifféremment x-\-y ou x — y, et éliminer x entre l'équation proposée et l'équation résultant de cette substitution. €e qui prouve que l'équation aux différences ne change pas quand on y change^ en—./, et que par conséquent elle ne contient que des puissances paires ou que des puissances

impaires de j\ 11 était du reste facile de prévoir ce résultat. En effet, l'équation finale doit avoir pour racines

oê — 3$ et a? — ai ou —(.2/ — .a/'),

et ainsi des autres.

Du reste, le degré de l'équation finale sera généralement du degré nâ 9 c'est-à-dire égal au nombre d'arrangements avec répétition que l'on peut faire avec m choses prises 2 à 2. Mais comme elle doit avoir pour racines a? — a/, .r" — a/', etc. , on voit qu'elle aura m racines nulles. On pourra donc y supprimer le facteur^" 1 , ce qui réduira le degré à m* — m ou m[m — 1).

Mais après la suppression de ce facteur, l'équation ne contient plus que des puissances paires de y\ et par conséquent si l'on y fait y* =z , on obtiendra une

équation du degré m ^ m ^ D y dont les racines seront les

carrés des différences des racines de la proposée , et que l'on nomme l'équation aux carrés des différences*.

* Soit Péqiiation

Représentant l'équation aux carrés des différences de ses racines a, b, c, d.. ., par

z «L. JDZ »-i) </3 ~-*| r3 «-3 L. — 0,

,1 m{m — 1) dans laquelle n = — - ,

les racines de cette équation seront {a—bf, {a — c)«, (b — cf.... et si l'on désigne par s it s it s y .... les sommes des puissances semblables de ces racines, on aura jj-f-/>=0, s i -\-ps l -\-Zq=Q , •* s -|-/«t+^i+ 3r =0> et ainsi de suite; relations qui détermineront p, q t lorsque s it s t , s s ... t seront connues. Désignons par S 4 , S,, S,, les sommes des puissances semblables

On peut , dès le commencement du calcul , suppri-

des racines de la proposée : ces quantités seront déterminées en fonction de ses coefficients à l'aide des relations

S, + P=0, S t + PS, + 2Q=0, S,+ PS,+QS t -f 3R = 0....

Or on peut déterminer s t , s ty s v ... en fonction de Si, S,, S 8 .. au moyen de la relation générale qui suit :

s k — — — r>i»f»à— i)— I ^(sk-ï) •••

^1 2X(2X- 1 )(2X— 2)...(X + l) gg ~2 ~ 1.2.3....^ bkbtJ

d'où l'on tire ^=mS,—

Application de ces formules aux équations des troisième et quatrième degrés. \° x s|p <r ^Q = 0 .

Équation aux carrés des différences z-^-p = Q. 2«*»+Px»+Q.r+R = 0.

Éciuation aux carrés des différences £-\-pz*-{-fjz+r=0.

/»= — 2(P»— 3Qft 7 =(P»— 3QJP,