PQ — 3R)'— 4(P>— 3Q) (Q* — 3PR

3° or 4 -f-Qx î +Rr+S = 0, équation du quatrième degré débarrassée de son second terme.

Équation aux carrés des différences z 8 -f~/ ?z< +7 z *4' *^+« f -f/z -|-« = 0.

r=18Q 8 — 46QS — 2GR*,

s = i 7Q*+ 24Q l S— 7 . 1 6S l + 3 . \ 6QR»,

t =40»— 2 :21QPR*— 8 . 27R'S + 3 . 4 S QS'— 2 . iH^S ,

u = 4 l S 8 — 2 8 . 4«QV + 4» . S'R'QS + 4Q*S — 4Q 8 R« — 3 8 R* .

mer les m racines nulles , en éliminant x entre les équations

F(*) = 0 et F(x+S)— F(x)=0.

En effet, cette dernière équation est évidemment satisfaite par j==Q, c'est-à-dire qu'elle contient le facteur commun >*, que l'on pourra supprimer.

Ce que Ton peut faire voir d'une autre manière en rappelant que, si l'on désigne par

F'(.r), F%z), F"^), etc.,

les dérivées successives de F(x) , l'équation F(x -\-y) se développe de la manière suivante :

—>+ tïs+ rrs^ +~~

et si l'on retranche le premier terme , on aura une équation qui contiendra y en facteur commun.

Problèmk. — Former l'équation qui ait pour racines les produits deux à deux des racines d'une équation donnée.

x 1 et x 9 étant deux racines quelconques de l'équa-' tion proposée, du degré m, F(x)=0, on aura à éliminer a! et x*' entre les équations

F(-*0=Om, F(*")=0[2], [3] } de [3] on tire x t =^ /J on aura donc à éliminer a? entre

F(^=0 et r(|,)=0,

ou x entre

F(*)*=0 et f(|)=0,

ï /équation finale sera encore du degré m*, et parmi ses racines il y en aura m qui seront les carrés des racines de la proposée. On pourra supprimer ces m racines en prenant l'équation aux carrés des racines de

la proposée, ce qui se fera en substituant y.r a x dans celle-ci, et divisant le premier membre de l'équation finale par le premier membre de l'équation transformée.

De plus, le quotient du degré m(m — 1) que l'on obtiendra sera un carré parfait, car l'équation finale, après la suppression des m racines , ne doit plus contenir que des racines telles que ala!' et .r".z / , etc., c'est-à-dire des racines égales deux à deux. On pourra donc extraire la racine carrée de ce quotient, ce qui abaissera le degré de la véritable équation finale au

degré f^fH.

On supprimera , dès le commencement du calcul , les carrés des racines de la proposée en prenant pour équations d'élimination

F(*)=0 et F(|)-F(x)=0, •

dont la deuxième est évidemment satisfaite par j=x t y et par conséquent sera divisible par / — x*.

Pour avoir l'équation aux moyennes proportionnelles deux à deux des racines de la proposée , il suffit de faire dans l'équation finale y=z\

Problème. — Former l'équation qui ait pour racines le» rapports entre les racines d'une équalion donnée.

Sans répéter les raisonnements précédents , on

voit qu'on aura à éliminer x' et r" entre les équations

ou bien x entre

Ff.r)=0 et F(.r/)=0.

L'équation finale sera généralement du degré nù par la même raison que précédemment; mais elle contiendra évidemment m racines égales a l'unité, que l'on pourra supprimer en divisant son premier membre par Çy — 1) m . Déplus, l'équation résultante, du degré m{m — 1), sera réciproque : car à chaque racine

p correspond une autre racine

par conséquent l'équation finale pourra toujours êlre

abaissée au degré *!!=!>.

On supprimera, dès le commencement du calcul, les m racines égales à l'unité en éliminant entre les équations

F(:r)=0 et F(xy)— F(jr)=0, .

dont la dernière, évidemment satisfaite par^=1 , sera divisible par y — 1 .

Problème. — Former une équation dont les racines soient une fonction donnée des racines prises deux à deux d'une équationdonnée.

Soient x J y x 1 ', deux racines quelconques de l'équation proposée F(^r)=0, et soit la fonction donnée

f{x'-\-x ,f )-\-qx r x ,f 9 représentant la racine correspondante y de l'équation demandée.

On aura en même temps

F(*0=O[1], F(*")=0[2], x^+^")+^'=j[3]; de [3] on tire ^f^g?'

et , substituant dans la seconde, il restera à éliminer x 1 entre

ou x entre

L'équation finale sera encore du degré m 1 . On pourra la ramener à une équation du degré nt — m ou m(m — 1), en divisant son premier membre par le premier membre de l'équation qu'on formera en éliminant x entre F(x)=0 et 2jJX-\-qx*=u, et dans laquelle on remplacera u par x. De plus , cette équation du degré m(m — 1) pourra être abaissée au degré

m ( m ~ U ; car ses racines seront égales deux à deux ,

et par conséquent son premier membre sera un carré parfait.

On supprimera , dès le commencement du calcul , les m racines de la forme 2px-\-qx* } en éliminant x entre les équations

^=0 etF(j^)F(x)=0, dont la deuxième est satisfaite évidemment par r=

2/^'+^; et par conséquent son premier membre sera divisible pai % y — 2px~qx*.

On résoudrait de la même manière le problème général qui suit :

Problème. — Former l'équation dont les racines soient liées à n racines quelconques d'une équation donnée du degré m, par une relation donnée.

Soit toujours F(.z)=0 l'équation donnée; x 1 , a! f 7

x 1 " , n racines quelconques de cette équation , et

F(af 9 x", x"' 9 ....y)=0 la relation donnée entre ces racines et la racine correspondante y de l' équation demandée : on aura en même temps les équations

F(^)=0, F(*">=0, F(j/")=0,.... ¥(x J 9 a* 9 af».../)=Q,

entre lesquelles éliminant les n quantités x J 9 x" 9 af n 9 . . . on obtiendra l'équation finale en y qui aura pour racines les valeurs qui résultent de toutes les combinaisons exprimées par la relation donnée entre n racines de l'équation proposée.

Application. — Étant donnée l'équation

ar> — 9x*-[-23.r— 15 = 0,

former l'équation, 1° aux sommes deux à deux; 2° aux différences; 3° aux produits deux à deux; 4° aux rapports; 5° aux sommes augmentées du double des produits deux à deux, des racines de l'équation proposée.

f* On substituera^* — x à la place de x dans l'équation proposée , et l'élimination directe de x entre celle-ci et l'équation transformée donnera une équation finale du neuvième degré, dont on divisera le premier membre par le premier membre de l'équation

qui est l'équation aux doubles racines de la proposée. Le quotient, du sixième degré , sera un carré parfait , dont on extraira la racine, et Ton obtiendra pour r équation finale

1 8^+1 OAr— 1 92= 0.

On pourra se dispenser de la division en éliminant x entre l'équation proposée et l'équation transformée dont on aura retranché l'équation proposée elle-même. L'équation aux moyennes arithmétiques des racines deux à deux de l'équation proposée sera

2" Éliminant x entre l'équation proposée et l'équation obtenue par la substitution daus celle-ci de x-\-y à la place de x , on obtiendra une équation du neuvième degré, qui sera divisible par y*; et l'équation finale, du sixième degré,

ne contenant que les puissances paires de l'inconnue , sera l'équation aux différences des racines.

Et l'équation aux carrés des différences

3° L'équation aux produits deux à deux, suppression faite des carrés des racines de la proposée et des racines égales, est

Si l'on fait/=z', l'équation

sera l'équation aux moyennes proportionnelles deux à deux des racines de la proposée.

4° L'équation aux rapports, toute réduction faite, est

5° L'équation demandée correspondant à la relation donnée

entre deux racines quelconques de la proposée est y 55^4- 81 By— 3536 =0.

Il en serait de même si l'on voulait former une équation qui eût pour racine une combinaison donnée entre les racines de deux ou plusieurs équations données.

Problème. — Étant données deux équations F(x)=0, F'(/) = 0, de degrés quelconques m , m', former une équation qui ait pour racines f 1° les sommes deux à deux; 2° les différences deux a deux ; 3° les produits deux à deux ; 4° les rapports entre les racines des équations proposées.

Pour le cas de la somme , par exemple , on aura à éliminer x et jr entre les trois équations

f(*)=o, PCr)=o, *+j=z,

et, par conséquent, à éliminer x entre les deux équations

et l'équation finale en z, du degré mtrè généralement, sera l'équation aux sommes deux à deux des racines des équations proposées.