Former l'équation aux sommes des racines des équations
L'équation demandée sera
H. — Former l'équation aux différences des racines des équations
L'équation finale sera
1173. y=n, r =b-a, y= |d= \J~ab.
Problèmes qui donnent lieu à des équations de degrés supérieurs
au deuxième.
Problème. — D'un tonneau rempli de vin, et de la capacité d'un hectolitre , on tire une certaine quantité de vin et l'on remplace par de l'eau la quantité de vin tirée.
De ce mélange on tire une seconde fois une quantité double de la première, et l'on remplit le tonneau avec de l'eau. On fait sur ce nouveau mélange la même opération , en tirant une quantité de liquide double de la précédente , et Ton remplace par de l'eau la quantité de liquide qu'on vient de tirer du tonneau.
Après ces trois opérations , il ne reste plus que 43 litre, ,2 de vin pur dans le tonneau. Déterminer la quantité de liquide qu'on a tirée chaque fois.
Soit x la quantité de vin pur qu'on a tirée la première fois; 2.r, 4r, seront les quantités de liquide tirées à la deuxième et à la troisième opération.
Après la première opération, le tonneau contient 1 00 litres d'un liquide qui ne contient plus que 1 00- — x litres de vin pur, et par conséquent 1 litre de ce mélange ne renferme qu'une quantité de vin pur expri-
100— x mee P ar ~lÔu~"*
Après la deuxième opération , le tonneau contient 400 litres d'un second mélange qui ne contient que 100 — 2r litres du premier; et par conséquent 1 litre de ce second mélange ne contient du premier mélange qu'une quantité exprimée par
ou encore ne* contient de vin pur qu'une quantité représentée par
On voit de même qu'après la troisième opération 1 litre du troisième mélange ne contient de vin pur qu'une quantité exprimée par
D'après l'énoncé du problème, on aura l'équation
iAA ^OO— 4aV100 — 2x \fiOO—x\ /q 0 1 00 Hôô— ) {— ÎQÔ-J (-ÏÔÔ-) =A3 > 2 -
Effectuant les multiplications et réduisant, on trouve l'équation
qui est satisfaite par x=\ 0.
On a donc tiré 1 0 litres la première fois , 20 litres la deuxième, 40 litres la troisième.
Soient en général c la capacité du tonneau exprimée en litres , p la quantité de litres de vin pur qui reste dans le tonneau après la riT* opération semblable : la valeur de x sera donnée par l'équation
(c— x\ fc—ix\ [c—Vx\ (c— 2*-«x\
Si à cbaque fois on retirait la même quantité de liquide, l'équation serait
et une simple extraction de racine donnerait la valeur de x. C'est le cas du problème 1 188.
Problème. — Un bassin, dont la capacité est de 360 litres, est rempli en 2 heures par quatre fontaines. La deuxième seule me
1 heure plus 12 minutes, la troisième 3 heures, la quatrième 6 heures, de plus que la première pour le remplir. Combien de litres d'eau chacune des fontaines donne-t-elle en une heure?
Soit x le temps que met à rémplir le bassin la première fontaine coulant seule ; la deuxième mettra
^""Mgj ' a troisième .x-|-3, la quatrième x -|- 6 heures. Chacune d'elles donnera en 1 heure
et, coulant ensemble, elles mettront à remplir le bassin
Ij ! l 1 4
X ' , . lTjf + 3'
on aura donc l'équation
Effectuant les calculs et réduisant, on trouve 5.r*+ 1 1 r 3 — 1 62*'— -468* — 21 6=0 ;
équation qui est satisfaite par .r=6.
D'où l'on conclut que la première fontaine donne
555=60 litres d'eau par heure, la deuxième^=50, la troisième ^ =40, la quatrième enfin ^=30.
Problkme. — Un capitaliste a pris 30 actions de 1000 francs chacune dans une entreprise qui a réussi au point que, chaque année, il prend 7 actions, dont il laisse les intérêts s'accumuler avec le capital et les intérêts précédents. Au bout de 5 années, dans lesquelles les dividendes se sont maintenus à la même hauteur, il retire pour solde totale une somme de 84051 francs. A quel intérêt a-t-il placé son argent?
Soient en général a le capital primitif laissé pendant n années dans l'entreprise, b la somme additionnelle de chaque année, x l'intérêt de 1 franc par an.
Le capital a produira, en n années, le capital total
Les sommes additionnelles £, laissées pendant n — 1 , n — 2, n — 3. ...2, 1 années, produisent un capital total exprimé par
et si Ton désigne par S le capital général provenant du capital primitif a et des sommes additionnelles b , on aura à résoudre, par rapport à x, l'équation
„ (1+ ^ + *('+*>KH-*r'--i] = S,
qui peut se mettre sous la forme
(ax-\-b)(i-\-x) n —~(S-\-b).z — £=0.
Les données du problème sont
Substituant ces valeurs et effectuant les calculs, on
trouvera une équation du sixième degré , qui se réduit au cinquième :
Cette équation, traitée par les méthodes ordinaires, donne pour racine ^==0,1 .
L'entreprise a donné 10 pour 100.
Problème. — Un constructeur a employé, pour faire un ouvrage , un certain nombre d'ouvrier* 3 fois moindre que le nombre de centimes contenu dans le prix de la journée de chacun , et qui ont travaillé 35 jours de moins que le nombre de francs contenu dans le prix d'une journée de tous les ouvriers ensemble.
Un autre constructeur, pour faire le même ouvrage, ayant employé 10 ouvriers de moins, qui ont travaillé 10 jours de plus, et qu'il a payés à raison de 50 centimes de plus par jour pour chacun, a dépensé 1000 francs de plus.
On demande le nombre d'ouvriers employés par le premier constructeur, le prix de la journée d'ouvrier et le nombre de jours de travail.
Il est évident , d'après l'énoncé , que tous les nombres demandés seraient facilement déterminés si l'on connaissait le prix de la journée de chaque ouvrier. Soit donc se le prix de la journée ; le nombre
d'ouvriers sera exprimé par et le prix d'une journée de tous les ouvriers ensemble par -j-. I* nombre de jours de travail sera donc — - 35. Enfin la dépense totale sera.r^^^jp- — 35^.
Le second constructeur paye pour la journée de ses ouvriers x-j-0,50; il en emploie -^——10, et ils ont
(1 OOx* \ — £ 35J-}- 10. La dépense totale sera donc
exprimée par
et par conséquent l'équation du problème sera
Effectuant les calculs indiqués et réduisant, on trouve
2000 j, • 500 . 600 0ryr A —g- jt-| — ^-r — 875=0.
Chassant les dénominateurs et faisant dans l'équation résultante :r=J^pour débarrasser le premier terme de son coefficient, on obtient, tout calcul fait, y+i 5^—300/— 31 500=0.
Appliquant à cette équation la méthode des racines commensurables , on trouve qu'elle est satisfaite par
/=30; d'où 1,50.
Le prix de la journée d'ouvrier est donc de 4 ,50 ; d'où l'on voit que le nombre d'ouvriers employés par le premier constructeur est 50, et le nombre de jours de travail 75—35=40.
Le deuxième constructeur a fait travailler 40 ouvriers pendant 50 jours en leur donnant à chacun 2 francs par jour.
Problème. — Dans quel système de numération le nombre 48569 est-il représenté par [24135] ?
Soit x la base de ce système de numération , on aura pour équation de condition
2**+ 4î j +^+3jt+5=48569.
Appliquant à cette équation la méthode des racines commensurables, on trouvera pour racine x = 12.
Il est facile en effet de vérifier que le nombre 48569 s'écrit dans le système duodécimal [24135].
Si l'on avait un nombre écrit dans un système quelconque donné , on commencerait par convertir le nombre donné dans le système décimal , et la question reviendrait à la précédente.
Problème. — Dans quel système de numération le nombre représenté par [142365] dans le système septénaire est-il représenté par [13963]?
Le nombre septénaire [142365] est exprimé par 27291 dans le système décimal; et la question revient à celle-ci : Dans quel système de numération le nombre 27291 est-il exprimé par [1 3963] ?
Réponse : dans le système duodécimal.
Problème. — Une personne avait parié d'amener avec des dés un certain nombre en 10 coups. Pour chaque coup de surplus il s'engageait à payer un certain nombre de fois la somme du coup précédent. Le nombre ayant été amené au 17 e coup des dés, il a payé pour le 16 e coup 12 fr. 15 c, et il a perdu en tout 18 fr. 20 c. Quelles étaient les conditions du pari?
On propose de déterminer le premier terme et la
raison d'une progression par quotient dont on connaît le nombre de termes, 6; le dernier terme, 12,15; et la somme de tous les termes, 18,20.
Soient x le premier terme , y la raison de la progression , on aura , d'après les formules connues , les
équations
Substituant dans la première la valeur de x tirée de la deuxième, on trouve
g£=l=, et {s-iy-sy+i=o,
dans laquelle équation on devra remplacer / et s par leurs valeurs /=12,1 5; s=] 8,20. Ce qui donne, toute réduction faite,
On en tire facilement j'= 3 et #=0,05.
Ainsi les conditions du pari étaient que, pour le premier coup de dés en sus des 10 coups, le parieur donnerait 5 centimes , et pour le deuxième coup 15 centimes, et ainsi de suite toujours en triplant.
1 179. x le nombre.
Éq. ^ = 1944.
Rép. 18.
1180. x le nombre.
Éq. ^=4608.
Rép. 48.
1181. x le nombre.
Éq. -^-—12000=167.
Rép. 11 1.
1182. x le nombre de paniers.
Éq. 6.^=16464.
Rép. 14 paniers, 588 oranges.
1183. x le nombre de négociants.
** T = 256 ° Rép. 8.
1 1 84. x le taux de l'intérêt.
Éq. (.r+100) s =1 157625.
Rép. 5 pour 100.
1185. x,y, z, les trois nombres".
Éq. .r 4 j=112, jTz=588, z'.r=576.
Rép. 4, 7, 12.
1186. x, y, z, les trois nombres.
Éq. x*y=a, y*z=b) z*x=c.
x, j-, z, u, les quatre nombres.
. x t y=a 1 y*z=b, z*u=c, itx=d*.
/ 7«v "/vw VS? 7<w
^Vw V^' v^' V^v-
On trouverait des valeurs analogues pour une plus grande quantité de nombres demandés.
1188. x la quantité de litres tirés cbaque fois.
Rép. 27 litres.
1 189. r un des nombres.
Éq. (2.r +4) (x>+kr) =1386. Rép. 7 et 11.
1 1 90. x le nombre de livres que pèse la pièce d'ar-
genterie.
Éq. (.r-f 8)^=2880 sous.
Rép. 12 livres.
1191. .r le nombre d'officiers.
Éq. 10V+160.r ! = 15360.
Rép. 8.
1192. x la dépense cl avant-bier.
Éq. .r»4-^~67^-f 110=0.
Rép. x=2, x= 5, d où r-|-4=6 ou 9.
1193. x le nombre de marcbands.
Éq. !2^fcJ) =2 88.
Rép. 12.
* Le produit des quatre équations donnera xyzu.
1194. x le nombre de marchands.
Rép. 7, 8 ou 10.
1195. x la somme de A.
Éq. x(.r+1)(.r+2)(.r+3)=(.r-j-3) , +1 168.
Rép. A 5, B6, C7, D 8 francs.
1196. x le prix de la journée d'ouvrier.
Éq. 3^3^— 100)= 3000 fr. =60000 sous;
d'où #=10.
Rép. 30 journaliers, 200 jours.
1 197. x la plus grande partie.
Rép. 35, 28.
1198. x le temps demandé.
™' m* x (4 "Ta; + 8 • x + l2~ '48*
Rép. 4 heures.
1199. La valeur du premier nombre sera donnée par l'équation finale
[b-{a-xft=[(c-xfl
Cette équation une fois résolue , les valeurs des deux autres nombres se détermineront sans difficulté.
1200. Le produit p des nombres cherchés dépend de la résolution de l'équation
ty—2ay + 6a 4 />— <t -f b = 0 .
1201. Le produit p des deux nombres dépend de l'équation
7ap'—iUa i f t -\-7a>p—ci , -\-b=0.
En général, la combinaison des équations
x**+tf»=b) OU \x*-"+y* +i =b)
conduit à une équation en p du degré ».
1202. Si l'on prend pour inconnues la différence y des deux nombres et leur produit z, ces deux quantités seront déterminées par les équations
ny* — 2my-\-2ay — nb= 0,
nz =a — my.
Connaissant la différence et le produit, on déterminera sans difficulté les deux nombres.
1203. Équation finale
r 8 — cuà-\- bx — c = 0,
d'après la composition des équations.
1204.. Le produit des trois nombres multipliés entre eux sera par conséquent.
ab — c
et F équation déterminante
ab — c
>r > — ax*-\- bx 7T- = 0.
382 SOLUTIONS DES PROBLÈMES D'àLGÈBRE
1205. La somme des produits deux à deux sera
le produit des trois nombres
2c+a 8 — 3ab
et l'équation finale
1206. En prenant pour inconnue la somme s des deux nombres , cette somme sera donnée par l'équation
et s étant connue, les deux nombres seront déterminés par Féquation
1207. La somme des trois nombres sera et l'équation
1208. La somme sera et le produit
par conséquent l'équation x^otsjla+b+ax — ±[cdz(a— *y2a+*|=0.
1209. La somme
le produit jt^V '2a-\-b— *c] ,
et l'équation
^zpr 5 y 2a~\-à+ax — ±[±a V '2«+£— c]=0.
1210. Soit jr le terme moyen de la proportion, la valeur de cette inconnue sera donnée par l'équation
3/— Wy+œ—b = 0.
Désignant une des racines de cette équation par w 7 les valeurs des extrêmes seront données par l'équation
1211. L'équation en y devient
dont les racines sont
En prenant
«'=6 on a ^—15^+36=0; d'où r=3, *=H2;
et la proportion est -5-5-3 : 6 : 42.
1212. En désignant par^ la raison de la progression , on aura d'abord pour la déterminer l'équation
by* — ay* — ay—*b = 0,
et le premier terme sera
1213. On prendra pour inconnue d la différence des moyens; et, si I on faitd'::^, on aura l'équation
5a'— 2% J +(1 M+M^y+aXjt— 2b) = 0.
jr et par conséquent d étant déterminés, la raison sera
et le premier terme 2 \a + d) '
